《年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20102010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题（考试时间：2010 年 9 月 4 日上午 10：0011：20）二 题号一 123合计得分评卷人复核人注意事项：注意事项：1.本试卷共二大题，全卷满分 120 分。2.用圆珠笔或钢笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 6464 分分. .把答案填在横线上把答案填在横线上. .1.方程2logsin2xx在区间(0,2上的实根个数为_.2.设数列118 ()3n 的前n项和为nS，则满足不
2、等式1|6|125nS 的最小整数n是_.3.已知n（nN，2n ）是常数，且1x，2x，L，nx是区间0,2 内任意实数，则函数1212231( ,)sincossincossincosnnf x xxxxxxxxLL的最大值等于_.4.圆周上给定 10 个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n次爬行后恰好回到起始点的概率为_.6.设O是平面上一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足|ACABOPOAACABuuu ruuu ruuu ruu u ru
3、uu ruuu r，其中0,)，则点P的轨迹为_.7.对给定的整数m，符号( )m表示1,2,3中使( )mm能被 3 整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)_.8.分别以直角三角形的两条直角边a，b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为aV，bV，cV，则22 abVV与2(2)cV的大小关系是_.二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 5656 分分. . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .1.（本小题满分 16 分）是否存在实数a，使直线1yax和双曲线2231xy相
4、交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分 20 分）求证：不存在这样的函数:1,2,3fZ ，满足对任意的整数x，y，若|2,3,5xy，则( )( )f xf y.3.（本小题满分 20 分）设非负实数a，b，c满足1abc，求证：19(1 9)4abcabbccaabc2010 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案一、填空题1.设2( )logsin2f xxx，则1( )cos ln2fxx x，02x，0cos1x，又0ln12，( )0fx，即在区间(0,2上单调递增，故方程2logsin2xx在区间(0,2上有且只有一个实根.2. 易知数列118 ()
5、3n 是首项是8，公比是1 3的等比数列，181 () 1366()131 ()3nn nS ，于是1|6|125nS 1 12132503125n n ，53243250，63729250，故最小整数n是 7.3.222abab，1212231( ,)sincossincossincosnnf x xxxxxxxxLL222222 23112sincossincossincos 222nxxxxxxL222222 1122(sincos)(sincos)(sincos) 2nnxxxxxxL2n，故所求函数的最大值等于2n.4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内
6、，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有4 1010 9 8 72101 2 3 4C 个交点.5.22( 1) 3 2nnn 6. |ACABOPOAACABuuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu r，()|ABACOPOAABAC uuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu r，即()|ABACAPABACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，又|AB ABuuu r uuu r，|AC ACuuu r uuu r为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点P的轨迹为BAC的平分线.7.由二项式定理知，20101005100524(3
7、 1)31p，即20102被 3 除余 1，2010(21)3，2010(22)12010(23)2，故201020102010(21)(22)(23)6.8. 22 2222222222222()()()3399abVVb aa ba b aba b c，2244 22242 244(2)(2()()399caba bVh abccc，作商，有22422222222222()(2)1(2)444abcVVcabab Va ba ba b，故222(2)abcVVV.二、解答题1.解：设交点A、B的坐标为11( ,)A x y、22(,)B xy，由22131yaxxy 消去y，得22(3)2
8、20axax，由韦达定理，得1222 3axxa，1222 3x xa，以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，OAOBuu u ruuu r ，12120x xy y，即1212(1)(1)0x xaxax，整理，得2 1212(1)() 10ax xa xx 将代入，并化简得22103a a，1a ，经检验，1a 确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.2.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设( )f na，(5)f nb，其中,1,2,3a b，由条件知ab.由于|(5)(2)| 3nn，|(2)| 2nn，(2)f na且(2)f nb，即(2)f n是1,2,3除去a，b
9、后剩下的那个数，不妨设(2)f nc又由于|(5)(3)| 2nn，|(3)| 3nn，(3)(2)f nf n.以1n代替n，得(4)(3)(2)f nf nf n，但这与|(4)(2)| 2nn矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数f.3.证明：先证左边的不等式.1abc，222222()()3abbccaabbcca abca babb cbca cacabc639abcabcabc再证右边的不等式.不妨设abc，注意到条件1abc，得31 4()9()4()()9abbccaabcabcabc abbccaabc()()()()()()a ab acb ba bcc ca cb() ()()()()0ab a acb bcc ca cb，所以1(1 9)4abbccaabc，综上，19(1 9)4abcabbccaabc.
