《初中数学竞赛辅导资料（42）形如1a+1b=1c问题的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导资料（42）形如1a+1b=1c问题的证明（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛辅导资料(42)型如的证明cba111甲内容提要甲内容提要型如的证明,通常是证明它的等价命题cba111第一种 转化为线段的比例式cba111) 1 ( 1bc ac)2(bcb ac)3(cb aba（1） 可证 和两个同分母的分式分别相等，例如,ac ab,pm pn当 m+n=p 时等式成立 （2）可证明 c,a,bc,b 四条线段成比例，关鍵是作出 bc 的差 （3）可证明 a+b,a,b,c 四条线段成比例，关鍵是作出 a+b 的和 第二种 转化为线段的乘积式bc+ac=ab(4)cba111(4)常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积 乙例题乙例题 例 1.已知：在梯
2、形 ABCD 中，ABCD，O 是 AC 和 BD 的交点，OEAB 交 BC 于有 E求证：OECDAB111分析：OECDAB1111CDOE ABOE证明，分别和，相等即可（下略）ABOE CDOE BCCE BCBE例 2.已知：在ABC 中，ACB120 ，CD 是角平分线o求证：CDCBCA111分析一：CDCBCA111CDCB CACBCA延长 AC 到 E，使 CECB，可证BCE 为等边，BECD分析二：CDCBCA111CACD CBCDCB ABCDOEABCEDABCDE在 CB 上截取 CECD， 可证CDE 为等边三角形，DECA分析三：CACDCBCDCACBC
3、DCBCA111可由 SCADSCBDSCAB证得 证明：SCADSCBDSCABCACDSinACDCBCDSinBCD=CA;x CBSinACB21 21 21Sin120 =Sin60 ,ooCACDCBCDCACBCDCBCA111例 3.已知：ABC 中，ABC124 求证：BCACAB111分析：BCACAB1111ACBC ABBCACBCAC ABBC在 AC 上取 CDBC，证明 即可，要创造相似三角形，ACAD ABBC作角平分线 CE，连结 DE，得ACEABC，再证 CEDEAD 证明：在 AC 上取 CDBC，作角平分线 CE，连结 DE 显然CDECBE，DCEB
4、CE2CDEB2， A，DEA CEEDDA ACEABC，,ABAC BCCEABAC BCADABAC BCCDAC,ABAC BCBCAC, 1 ABBC ACBCAC ABBC ACBCBCACAB111例 4.已知：点 C 和点 D 分别内分、外分线段 AB 为同一个比即 ACCBADDB（称 C，D 调和分割 AB）ABCDABCED求证： ABADAC211分析： ABADAC2112ADAB ACABADAB ACAB11ADABAD ACACABADDB ACCBDBAD CBAC（证明步骤是分析的倒逆） 例 5.如图已知：ABC 中，BCa,高 ADh,内接正方形 EFGH
5、 边 长为 m求证：mha111分析：hm+am=ah, 可用面积公式证mha111证明：SAEFS梯形 EFGHSABCADBCHEBCEFAKEF21)(21 21即 m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah两边除以 ahm, 得mha111丙练习丙练习 42 1.四边形 ABCD 中，ACRt，P 是 BD 上的一点，PMAB，PNCD，M，N 是垂足，求证：1BCNP ADMP2.ABC 中，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于 E，则DECABC1113.经过平行四边形 ABCD 的顶点 D 的一直线交 BC 于 M，交 AB 的延长线于 N，求证1BNAB BMBC
6、4.已知：ABC 中，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DEBC 求证：（1SBAE）（1SBEC）1SBEDADBCABCDEFGHKABCDEFGHK5.ABC 中，C60 ，角平分线 CDt, 求证o tba3116.ABC 内一点 P，PDBC，PEAC，PFAB，D，E，F 是垂足，设 a,b,c 边上的高分别为 ha,hb,hc求证1cbahPF hPE hPD7.已知 2a=7b=14c 求证 cba1118.已知：直线 y=bx+c (b 0), 与抛物线 y=ax2（a0） 有两个交点， 与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为 x1,x2,x3 且 b2-4ac0求证：32
7、1111 xxx9.RtABC 斜边上的高 CDh，那么222111 hba10. 过ABC 内一点 P 分别作三边的平行线DEBC，FGAB，HKAC求证：1ABAK CACE BCBF2ACHK ABFG BCDE11. 在等边ABC 外接圆的弧上取点 PBCPA 交 BC 于 M，求证PMPCPB11112. PA，PB 切O 于 A，B，直线 PO 交O 于 M，N，交 AB 于 C求证PCPNPM21113. 已知半径分别为 R，r 的O 和O1外切于 P，点 P 到外公切线 AB的距离为 d, 则drR211PABCDEFGKHR rdOO1PA BC13ABCPM11参考答案 练习 424.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比1.SABCabSinC212.连结 PA，PB，PC 由BChBCPD hPDaa8.x1,x2是方程 bx+c=ax2 的两个根，由韦达定理得cb xx2111且 x3是 bx+c=0 的根 9. 射影定理 11.用 SPBMSPCMSPBC 12. AM，AN 是PAC 的内，外角的平分线。
