《初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用初中数学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用初中数学（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章九点圆定理及应用第七章九点圆定理及应用【基础知识】 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共 圆 如图 7-1，设三条高，的垂足分别为，；三边，的中点ABCADBECFDEFBCCAAB分别为，；又，的中点分别为，求证：，LMNAHBHCHPQRDEFLM，九点共圆NPQRBVOCRFP E NMHQLD图7-1A证法 1 连，则知，即知为平行四边形又PQQLLMMP1 2LMBA QPLMPQ，知为矩形从而，四点共圆，且圆心为与的LQCHBPLMLMPQLMPQVPLQM交点同理，为矩形，从而，六点共圆，且，均为这个MNQRLMNPQRPL
2、QMNR圆的直径由，知，三点也在这个圆上故，90PDLQEMRFN DEFD，九点共圆EFLMNPQR证法 2 设的外心为，取的中点并记为，连，以为圆心，为半径作，ABCOOHVAOV12AOVe如图71由，知在上同理，也在上1 2VPOAPVeQRVe由（可由延长交的外接圆于，得为平行四边形，此时为的中点，1 2OLAHAOABCKHBKCLKH则为的中位线即得） ，知又，知，从而OLAKHOL PHOVVHOLVHPV，且，共线，故在上1=2VLVPOALVPLVe同理，在上MNVe 由，共线知为的一条直径LVPLPVe又，知，在上，90LDP 90MEQ90NFRDEFVe故，九点共圆D
3、EFLMNPQR上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆证法 3 由，有注意到、分别为、的中点，RtRtCBFABDBCBA BFBDLNBCBA则，即，这表明、四点共圆（或者联结、，则由BLBN BFBDBL BDBF BNLDFNNLDF知、四点共圆） 同理，、及、BDFBACBNL LDFNLDEMEMF 分别四点共圆N 由戴维斯定理，即知、六点共圆于LDEMFN又，有，注意、分别为、中点，则，知、RtRtCHDCBFCHCB CDCFRLCHCBCRCL CDCFR、共圆，即点在圆上FLDR同理，点、也在圆上，故九点均在圆上PQ注戴维斯定理指
4、的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合） ，若每两对点同在一个圆上，则三 对点（六点）均在同一圆上 事实上，若所说三个圆不重合则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三 个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论： 推论 1九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径ABCABC的1 2注意到与是以垂心为外位似中心的位似形，位似比是，因此，可得PQRABCH1 2HP HA 推论 2 三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是的位似形；垂心与1 2 三角形外接圆上任一点的连接线段
5、被九点圆截成相等的两部分 注意到欧拉定理（欧拉线） ，又可得 推论 3的外心，重心，九点圆圆心，垂心，这四点（心）共线，且，ABCOGVH1 2OG GH ，或和对于和是调和共轭的，即1 3GV VH OVGHOGOH GVHV推论 4的九点圆与的外接圆又是以的重心为内位似中心，位似比为的位ABCABCABCG1 2 似形 事实上，因为两相似三角形与的相似中心，而的外接圆即的九点GLMNABCLMNABC 圆 推论 5 一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同 的九点圆 【典型例题与基本方法】 例 1 如图，设为的垂心，为边的中点，为的中点过作的垂线交
6、72HABCLBCPAHLPL 于，交的延长线于求证：，四点共圆ABGACKGBKC图7-2FEPVBCDMNGLHOA证明设的外心为，连，取的中点，ABCOOHOHV 则为九点圆的圆心VABC 连，则，从而设为的中点，连，则，由此知AOAOPVAOGKNABONONAG AONAGL 又，则ACLAON ACLAGL 从而故，四点共圆BGLBGKKCLKCB BKCG 例 2 试证：的垂心与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分ABCH 证明如图，过垂心作外接圆的两条弦，连，73HABCDEFGDFEGE图7-3ST GDAMHCNFB设，分别为，的中点，则MNSTHDHEHFHG ，FDHSM
7、H EGHNTH 又，则FDHEGH SMHNTH 故，四点共圆，MSTN 由，的任意性，得与外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过，DEFGHABCHA ，的中点，故这个圆就是的九点圆，从而命题获证HBHCABC 例 3 如图，中，为外心，三条高，交于点，直线和交于点，74ABCOADBECFHEDABM 和交于点求证：（1），；（2）FDACNOBDFOCDEOHMN （2001 年全国高中联赛题）EVFABCDMNOH图7-4证明（1）设的外接圆半径为，由相交弦定理，有ABCR，22ROFAF FB22RODBD DC 从而22OFODBD DCAF FB由，四点共圆，有，即，
8、亦即AFDCBD BCBF BABDBDDCBF BFFA，故同理，2222BFBDBD DCAF FBOFODOBDFOCDE （2）由九点圆定理的推论 1，知的中点为的外心又由，及，OHVDEFDEABD ，分别四点共圆，有，FACMD MEMB MAND NFNC NA 由此，即知，对的外接圆与的外接圆的幂相等，从而，在这两个外接圆的MNABCDEFMN 根轴上，即有，故MNOVMNOH 【解题思维策略分析】 1注意题中九点圆的显现形式 例 4 如图，中，为外心，是垂心，作，和的外接圆，依次记75ABCOHCHBCHAAHB它们的圆心为，求证：，且这两个三角形的九点圆重合1A1B1C11
9、1ABCABC（预选题）IMO31图7-5MHKOABA1B1C1C证明由于，知外接圆的半径和18090(90)180CHBBCBCA CHB外接圆的半径相等，从而，有是关于的对称点CAB1AOBC设是中点，则知，即MBC2AHOM1AHOA又，则连与的交点为平行四边形的中心，即与互相平分于1AHOA1AAOHK1AHAO1AAOHK同理，也经过且被它平分，从而与关于中心对称，故1BB1CCK111ABCABCK111ABCABC显然，是九点圆的圆心因此，这个圆关于作中心对称时不变，它也是的九点KABCK111ABC圆 例 5 如图，在中，是边上的高，分别是，两边的中点，设直线76ABCADB
10、CMNCAAB 通过点，且在 上的射影为，连与交于点求证：，四点共圆，lABClB C B NC MPBCDP 且其圆心与点均在的九点圆上OPABCPONMDBAC21l图7-6BC证明，在中，为斜边的中点，令，则BBCCNDMDRtAB BNAB1BAB 1NB A 同理，令，则 NADNDA MADMDA 2CAC 2MC A 于是， 12NB AMC A 180A故180MPNNB AMC A 180(180)AA NADDAMNDAADMMDN 由此，知，四点共圆DMNP 而的外接圆即为的九点圆，即点在的九点圆上MNDABCPABC 由，四点共圆，连，则知ABBDB D901B DAB
11、 BA 同理， 902C DAC CA 于是， 18012B DCB DAC DAAMPNB PC 故，四点共圆BCDP 由题设，的圆心为，连，则B C DP eODOPO2DOPDB P 由于，四点共圆且以为其圆心，则知ABBDNNBND 于是，有，2DNPDB P ，四点共圆DOPDNP DOPN 在上，即在的九点圆上，故命题获证ODPNeOABC 2注意题中九点圆的隐含形式例 6 如图，锐角中，角的等分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类77ABCA1A1B1C似直线与，两角的外角等分线交于，点，与此类似求证：1AABC0A0B0CA0A1IC0B1C1B0图7-7CAB（1）的面积
12、是六边形面积的二倍；（2）的面积至少是面积的四000A B C111AC BACB000A B CABC倍 （试题）IMO30证明（1）令的内心为则又是的垂心（内、外角平分线互ABCI000()IAABBCCI000A B C相垂直） 显然，的外接圆是的九点圆，即知，分别为，的ABC000A B C1A1B1C0A I0B I0C I中点，于是得， 012A BIA BISS012A CIACISS从而 012A BICA BICSS四边形四边形同理， 012B CIAB CIASS四边形四边形012C AIBC AIBSS四边形四边形故 0001112A B CAC BACBSS六边形（2）
13、由（1） ，有1110002=2A BCB CAC ABA B CABCABCSSSSSS故只要证1111A BCB CAC ABABCSSSkS记，则2BAC2ABC 2BCA12111sin 1802sinsinsin2sin2 1sin2sin2sinsin2sin2sin22A BCABCAB ACSSAB AC 同理，12sin sin2sin2B CAABCSS 1sin sin2sin2C ABABCSS 于是，2222sinsinsin sin2sin2sin2sinsin2sin2k 2222 33222sinsinsin33coscoscossinsin 2sin 2422
14、3 coscoscos3cos14343例 7 如图，是一非等腰三角形，它的边长分别为以，其中是的对边（78123A A A1a2a3aiaiA） ，是边的中点，的内切圆切边于点，是关于角平分线的对称12 3i ，iMia123A A AIeiaiTiSiTiA点求证：，三线共点(12 3)i ，11M S22M S33M S（试题）IMO23S3S2S1 A2A3M3M2M1IT3 T2T1图7-8A1证明由题设，知，下面证，1221M MA A1121S SA A由和，和分别关于直线对称，有1T1S2T3T1AI 1 231TTT S同理， 1 232TTT S故有，即是等腰的顶点，有，从而 3132T ST S3T312T S S312T
