《初中数学奥林匹克中的几何问题：第6章西姆松定理及应用初中数学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学奥林匹克中的几何问题：第6章西姆松定理及应用初中数学（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章西姆松定理及应用第六章西姆松定理及应用【基础知识】 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常 称为西姆松线） 证明如图 6-1，设为的外接圆上任一点，从向三边，所在直线作垂线，垂足PABCPBCCAAB 分别为，连，由，四点共圆，有LMNPAPCPNAM LMAPBNC图6-1PMNPANPABPCBPCL 又，四点共圆，有PMCLPMLPCL 故，即，三点共线PMNPML LNM 注 此定理有许多证法例如，如下证法：如图 6-1，连，令，则PBPBCPCB PCM，且，PAMPANPBNcosBLPBcosLCPCcosCMPC，对，有c
2、osMAPAcosANPAcosNBPBABC故由梅涅劳斯定理之逆定理，知，三coscoscos1coscoscosBL CMANPBPCPA LCMANBPCPAPB LNM点共线 西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略） 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上 证明如图 6-1，设点在的三边，所在直线上的射影分别为，且此PABCBCCAABLMN 三点共线由于，于，于，知，及，PNABNPMACMPLBCLPBLNPNA 分别四点共圆，而与相交于，则，从而，MABLMNPBCPBLPNMPAM PBC 四点共圆，即点在
3、的外接圆上APABC 【典型例题与基本方法】 1找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例 1 如图 6-2，过正外接圆的上点作直线于，作于，作ABCACPPD ABDPEACE于求证：PFBCF111 PFPDPEPEFABCD图6-2证明由直线于，于，于，知，及，PD ABDPEACEPFBCFAEPDEFC 分别四点共圆，则，P60DPEBAE 60EPFECF 由西姆松定理，知，三点共线，从而以为视点，对应用张角定理，DEFPPDF有，即，故sinsinsinDPFDPEEPF PEPFPDsin120sin60sin60 PEPFPD111 PFPDPE例
4、2 如图 6-3，设，为的三条高线，自点作于，于，ADBECFABCDDPABPDQBEQ于，于，连求证：，在直线上DRCFRDSACSPSQRPSQHESRABDCPF图6-3证明由于的外接圆为，而为该圆上一点，且在三边所在直线上的射影分BFHBDHFeDDBFH别为，于是，由西姆松定理知，三点共线PQRPQR同理，可证，是的西姆线上三点QRSHEC由于直线与直线有两个公共点，所以这两直线重合，故，在直线上PQRQRSQRQRPS例 3 如图，设为外接圆上一点，作交圆周于，作直线交圆周于64PABCPABC APB AC ，作交圆周于求证：BPCAB CAABBCCLMPN ABC CBA图
5、6-4证明设于，上直线于，于，则由西姆松定理知，三点共PABC LPBACNPCAB MLMN 线注意到，及，分别四点共圆，连，则LBPMABPABP ，于是AMNBMLBPLBPABAA AALN同样，注意到，及，分别四点共圆，连，则ABPBAMPNPA ，于是ABBAPBAPNAMN BBLN由，四点共圆，知注意到，APCC180ACCAPC APCAPMANMCNM 则，于是，故 180ACCCNM CCLMAABBCC例 4 如图 6-5，设为外接圆上内一点，过作于，作直线于，PABCBCPPD BCDPF ABF设为的垂心延长至，使求证： （1979 年山西省竞赛题改HABCPDPP
6、DP DHPDF编）MAHPPAB CDFEH图6-5证明连并延长交于，交圆于，则由，知AHBCAHHCBBAHBCH HAA H 又由已知，且，连，则知与关于对称，从PPBC P DDPPHPHP HBC 而PH HP HH 由于从点已向的两边所在直线，引了垂线，再过点向边所在直线作PABCABBCPFPDPAC 垂线，垂足为，则由西姆松定理，知，三点共线，设西姆松线与交于此PEEFDEEFHAM 时，又由，四点共圆，有PCEDCPECDE 在中，与互余；在中，与互余故RtPCECPEPCERtMDAA DMCDE DMA ，由此即知，故DMAPCEPCAPH HP HH HPEFHPDF例
7、 5 如图，设为外接圆上一点，过点分别作于，作直线于，66PABCPPLBCLPN ABN 直线交边上的高线于，设为的垂心求证：LNBCKHABCPKLHFPMHS QBDGLCAK图6-6N证明由于从点引了的边，所在直线的垂线，再过点作于，则由西姆PABCBCBAPPMACM 松定理，知，三点共直线，即，四点共线LMNLMNK设边上的高线为，延长交圆于，连交于，交西姆松线于，连交西BCADADFPFBCGNLQPH姆松线于NLS 由，四点共圆及，共圆，连，则，PCLMAFCPPCMLPMCPAFPLPF 从而，即为的斜边的中点连，由，知QPQLQRtPLGPGHGDFCABCDHC ，有，从
8、而，即是的中位线，亦即HDDFHGDDGFLGPQLG HGMLSQPHGHSSP又，有及，于是，即有，亦即四边PLKHLPSKHS PSLHSK PSLHSKPL KH形为平行四边形，故PKHLPKLH 注由此例可得，三角形外接圆周上一点与垂心的连线段，被关于点的西姆松线所平分，这PHPHP 是西姆松线的一条重要性质 2注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理 例 6 如图，延长凸四边形的边，交于，延长，交于试证：67ABCDABDCEADBCF ，的四个外接圆共点BCECDFADEABFEMP RSDBCA图6-7FQ证明设与的两个外接圆除交于点外，另一交点为设点在直
9、线，BCECDFCMMBEEC上的射影分别为，则由西姆松定理，知，三点共线BCPQRPQR同样，点在直线，上的射影，也三点共线，故，四点共线MDCCFDFQRSPQRS在中，在上，在上，在边所在直线上，且，三点共线，则由西姆ADEPAEQDESADPQS松定理的逆定理，知点在的外接圆上MADE 在中，在直线上，在上，在上，且，三点共线，由西姆松定理的ABFPABRBFSAFPRS 逆定理，知点在的外接圆上MABF 故，的四个外接圆共点BCECDFADEABF 注此例题的结论实际为宪全四边形的四个三角形、的外ABECFDAEDBECCFDABF接圆共点，此点称为密克尔()点，直线称为完全四边形的
10、西姆松线MiquelPQRS【解题思维策略分析】 1证明点共线的又一工具例 7 如图，设为四边形外接圆上任一点，点在直线，上68P1234A A A AP12A A23A A34A A41A A的射影分别为，又点在直线，上的射影分别为，1B2B3B4BP12B B23B B34B B41B B1C2C，求证：，共线3C4C1C2C3C4CQPB1 B4B3B2C4C3C2C1A2A3A4A1图6-8证明连，过作的垂线，垂足为从而，点关于的西姆松线为同样，点13A AP13A AQP123A A A12B B Q关于的西姆松线为P134A A A34B QB由，知点在的外接圆上，由西姆松定理，知
11、点在三边14111AB PAQPAB P P14QB BP14QB B上的垂足，共线1C3C4C同理，三点也共线1C2C4C故，四点共线（此直线称为点圆内接四边形关于的西姆松线） 1C2C3C4CP1234A A A A2注意西姆松线在转化问题中的媒介作用 例 8 如图，设为外接圆周上任一点，点关于边，所在直线的对称点分别为69PABCPBCAC，求证：直线经过的垂心1P2P12PPABCHP2P1BHLCP图6-9N证明由于，分别为点关于直线，的对称点，设交直线于，变直线于1P2PPBCAC1PPBCL2PPAC，则，分别为点在的边，所在直线上的射影，且，分别为线段，NLMPABCBCCAL
12、N1PP的中点2PP由西姆松定理，知为西姆松线，此时LN2LNPP又由前面例 5 知，当为的垂心时，直线平分线段于是，可知点在直线上，HABCLNPHH12PP即直线经过点12PPH例 9 如图，一条直线与圆心为的圆不相交，是 上一点，是 上任意异于610LOElOElMl 的点，从作的两条切线分别切圆于和，是上的点，使得，是上EMOeABCMAECMADMB 的点，使得，直线交于求证：点的位置不依赖于的位置EDMBCDOEFFM （预选题）IMO35图6-1032O1BQGADNMClE证明令，的半径为，连结，设交于，交OEaOeREAEBOAOBOMABABOMG于，则，OEQOAMAOB
13、MBOM AB由射影定理，得，又由，四点共圆，有，2OG OMOBMEQG22OQ OEOG OMOBR从而知，由，有，2ROQa2OBOQ OEOEBOBQ既有，即由此得BEOOBQBAO 123 ，故，四点共圆(901)903180MEBMAB （）ABEM作交的延长线于，由西姆松定理，知，四点共线注意到，ENABABNCDFNA ，与，均四点共圆，有又由，有NECAOEMENFEAMEOM ENOM ，故ENFNEF ENFNEF 在中，由上推知为的中点，因此，故的位置不RtNEQFEQ2211=222aREFEQOEOQaF依赖于的位置M 例 10 已知锐角，是过点的高线，是边的中点，
14、过的直线分别与、交于ABCCDCMABMCACB 点、，且若的外心为，证明：KLCKCLCKLSSDSM (2003 年波兰奥林匹克题) 证明如图 6-11，作的外接圆，延长交于点，联结，作于点，ABCCSABCeTTMTKAC K于点TLBCL图6-11LLSDB MAKKC注意到为的外心，且，所以为的平分线于是为弧的中点SKLCKCLCCSKCLTAB 又为的中点，则由西姆松定理，知、三点共线MABTMABKML又是的角平分线，且、三点共线，则即直线是过与CTK CLKLMCKCLK MLM 垂直的直线，又直线也是过与垂直的直线，从而与重合，与重合即CTKMLMCSKKLL ，亦即知、四点共圆故为四边形的外接圆圆心，即有90CKTCLT CKTLSCKTL ，于是为的中点又，则故SCSTSTCCDABCDMTSMSD 3注意西姆松线性质的应用 三角形外接圆上一点
