《全国初中数学竞赛辅导（初2）第02讲因式分解(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛辅导（初2）第02讲因式分解(2)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲第二讲 因式分解因式分解( (二二) )1 1双十字相乘法双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项 式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x 降幂排列， 并把 y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于 x 的二次三项式对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法， 分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以原式=x+
2、(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤 中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤 是：(1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构
3、 成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉 之积的和等于原式中的 dx例例 1 1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺 x2项，可把这一项的系数看成 0 来分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)说明说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似2 2求根法求根法我们把形如 anxn+an-1x
4、n-1+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为关于 x 的一元多项式，并用 f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，当 x=a 时，多项式 f(x)的值用 f(a)表示如对上面的多项式 f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一个根定理定理 1(1(因式定理因式定理) ) 若 a 是一元多项式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立， 则多项式 f(x)有一个因式 x-a根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求多项式 f(x)的根对于任意多
5、项式 f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然 而当多项式 f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的 定理来判定它是否有有理根定理定理 2 2的根，则必有 p 是 a0的约数，q 是 an的约数特别地，当 a0=1 时， 整系数多项式 f(x)的整数根均为 an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从 而对多项式进行因式分解例例 2 2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4 的约数， 逐个检验-4 的约数：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即 x=2 是原式的一个根，所以根据定
6、理 1，原式必有因式 x-2解法解法 1 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法解法 2 2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)说明说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约 数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4 的 约数逐个代入多项式进行验证例例 3 3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析分析 因为 9 的约数有1，3，9；-2 的约数有1，为：所以，原式
7、有因式 9x2-3x-2解解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+ +9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为 整系数因式，如上题中的因式可以化为 9x2-3x-2，这样可以简化分解过程总之，对一元高次多项式 f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那 么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多项式， 这样，我们就可以继续对 g(x)进行分解了3 3待定系数法待定系数法待定
8、系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介 绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个 因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表 示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等 的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊 值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这 种因式分解的方法叫作待定系数法例例 4 4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2
9、y+m 和 xyn 的形式，应用待定系数法即可求出 m 和 n，使问题得到解决解解 设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)说明说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下例例 5 5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若 原式有有理根，则只可能是1，7(7 的约数)，经检验，它们都不是 原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能
10、分解， 只能分解为(x2+ +ax+b)(x2+cx+d)的形式解解 设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由 bd=7，先考虑 b=1，d=7 有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)说明说明 由于因式分解的唯一性，所以对 b=-1，d=-7 等可以不加以考 虑本题如果 b=1，d=7 代入方程组后，无法确定 a，c 的值，就必须将 bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系 数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也 有用武之地练习二练习二1用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z22用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+23用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9
