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1、20142014 高中数学高中数学 第二章第二章函数的单调性函数的单调性教学设计教学设计 北师大版必修北师大版必修 1 1【教学目标教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程【教学
2、重点教学重点】函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的
3、许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系
4、。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。【学情分析学情分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从
5、图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性” “定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。但是如何运用数学符号将自
6、然语言的描述提升为形式化的定义，学生接受起来比较困难？在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义。【教学方法教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：启发式教学法启发式教学法以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。探究教学法探究教学法引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。合作学习合作学习通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。【教学手段教学手段】计算机、投影仪【教学过程教学过程】一、创设情境，引入课题一、创设情境，引入课题（利用电脑展示
7、）1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：股票价格、水位变化、心电图等等春兰股份线性图 水位变化图归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变
8、小设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣二、归纳探索，形成概念二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1 1借助图象，直观感知借助图象，直观感知问题问题 1 1：分别作出函数：分别作出函数的图象，并且观察自变量变的图象，并且观察自变量变212,2,yxyxyxyx 化时，函数值有什么变化规律？化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图）预案：生：函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整2yx2yx 个定义域内 y随x的增大而减小师：函数的图像变化规律2
9、yx生：在 y 轴的的左侧y随x的增大而减小在 y 轴的的右侧y随x的增大而增大。师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律生：在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小(0,)(,0)师：这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。(3)函数的图像变化规律如何。1yx生:（1）定义域中的减函数。（2）在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小(0,)(,0)师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？学生分组讨论。从定义域，图像的角度考虑，也可以举
10、反例引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题问题 2 2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? ?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数( )f x在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，( )f x( )f x我们说函数在该区间上为减函数( )f x教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识设计意图从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调
11、性的第一次认识第一次认识2 2探究规律，理性认识探究规律，理性认识问题问题 1 1：下图是函数下图是函数的图象的图象, ,能说出这个函数分别在哪个区间为增函能说出这个函数分别在哪个区间为增函2(0)yxxx数和减函数吗？数和减函数吗？（电脑显示，学生分组讨论）学生的困难是难以确定分界点的确切位置通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性问题问题 2 2：如何从解析式的角度说明：如何从解析式的角度说明在在为增函数？为增函数？2( )f xx0,)预案： 生： 在给定
12、区间内取两个数，例如 1 和 2，因为 12x2)，生：能。因为定义中区间 M 中的任意两个值若，都有21,xx12xx012xxx。0)()(12xfxfy师：我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？yx ,生：增函数都为正，减函数一正一负。师：如果将增函数中的“当时，都有”改012xxx0)()(12xfxfy为当时，都有结论是否一样呢？012xxx0)()(12xfxfy生：一样师：减函数的定义是否也可以进行这样修改？生：可以。师：根据刚才的分析，你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系？生：自变量的差量与相应的函数值的差量如果保持同号就可以说明其是单调
13、递增函数，如果是异号则是单调递减函数。师：那你们能否将定义修改地更为简洁呢？生：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,若即，则函数 y=f(x)是增函数，若即0)()(2121 xxxfxf0 xy0)()(2121 xxxfxf，则函数 y=f(x)为减函数。0 xy师：很好，事实上的符号决定了函数 f(x)的单调性，我们不仅xy xxxfxf 2121)()(要能从图象上直观判断函数的单调性，更应该要从单调性的本质上来理解这个概念。能用这种表达形式来描述函数单调性，说明大家对单调性概念的理解还是比较非常深刻的。【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念
14、进行了剖析，带领学生深入定义的表达形式，探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式，实现了从具体到抽象的转化。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳由数学符号叙述抽象到了形式化判断题：已知因为，所以函数是增函数1( )f xx( 1)(2)ff( )f x若函数满足则函数在区间上为增函数( )f x(2)(3)ff( )f x2,3若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增( )f x(1,2(2,3)( )f x(1,3)函数因为函数在区间上都是减函数，所以在1( )f xx,0),(0,)1( )f xx上是减函数.(,0)(0,)观察问题情
15、境 1 中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间及其单调性。通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数如图所示ABooxyO思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识第三次认识.三、掌握证法，适当延展三、掌握证法，适当延展例 证明函数在（0，+）是减函数xxf1)(1分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取且, 设元), 0(,21xx12xx012xxx求差121211)()(xxxfxfy变形2121 xxxx 21xxx断号0, 002121xxxxxQ0y函数函数在（0，+）是减函数 定论xxf1)(
