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1、第一章第一章 数数 列列本章概述本章概述 课程目标 1.双基目标 （1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项 公式） ，了解数列是一种特殊的函数； （2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念； （3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中， 通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观 察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法； （4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系； （5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相
2、应的问题. 2.情感目标 （1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力. （2） “兴趣是最好的老师” ，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索. （3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、 解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础. 重点难点 重点：等差数列与等比数列的通项公式. 前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用. 难点：等差数列、等比数列的性质及应用. 方法探究 1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和 推证过程，发现数列的递推公式，
3、体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方 法. 2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想 方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研 究等差数列、等比数列的过程 . 3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型 的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用. 4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练， 进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化 与化归、分类讨论等数学思想
4、，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等 具体方法. 本章注意问题： （1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两 者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法 去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用 它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快 速、合理. （2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等 差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两 种数列的定义、一般
5、形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加 深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果. （3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习 时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法. 1 数 列 第 1 课时 数列的概念 知能目标解读知能目标解读 1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念. 2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的 前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项. 3.
6、了解数列的分类. 4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法. 重点难点点拨重点难点点拨 重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型. 难点：将数列作为一种函数去认识、了解. 学习方法指导学习方法指导 1.数列的定义 (1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序 不一样，就构成了不同的数列.因此用记号an表示数列时，不能把an看成一个集合，这 是因为：数列an中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列an中的数是可 以重复的，即数列an中可以有相等的项，如 1,1,2,2,，但集合中的元素是互异的； 数列中的
7、每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物. (2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如an.其中的右下角标n表示项 的位置序号. (3)an与an是不同的概念，an表示数列a1,a2,a3,an,，而an仅表示数列的第n项. 2.数列的项与项数 数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的 数an，由于数列an的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看成序号集合到项的集 合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号， 它是这个函数值f(n)对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.
8、 3.数列的分类 判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素 是有限还是无限的. 4.通项公式 (1)由于数列可看做是定义域为正整数集 N N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当 自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应 的函数解析式，项数n是相应的自变量. (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1,2,3去替代公式中的n就可以求出这个数 列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话， 是第几项. (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如的
9、近似值，精确到 1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列21,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没有通项公式.注意： (1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如an=(-1) n，可以写成an=(-1) n+2，还-1 (n为奇数) 可以写成an= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列. 1 (n为偶数), (2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的 数列通项公式并不唯一.如数列 2,4,8,根据有限项可以写成an=2n，也可以写成an=n2- n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可. 5.数列的递推
10、公式 (1)递推公式：如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项） 开始的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法. (2)关于递推公式及应用需注意的几个问题： 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过 通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两 个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an. 如何用递推公式给出一个数列 用递推公式给出一个数列，
11、必须给出“基础”数列an的第 1 项或前几项；递推 关系数列an的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可 以用一个公式来表示. 注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式. (2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息. (3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项. 例如：设数列an满足：a1=1，写出这个数的前 5 项.an=1+ (n1)11na由题意可知a1=1,a2=1+=1+1=2,a3=1+=1+=，a4=1+=1+=，a5=1+=1+=.11 a21 a21 2331 a32 3541 a53 58此数列前 5 项分别
12、为：1，2，.23 35 58本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相 邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要 进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数 列中的任意一项.知能自主梳理知能自主梳理 1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 . （3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为： .数列 的第 1 项a1也称 ，an是数列的第n项，叫数列的 . 2.数列的分类 项数有限的数列
13、叫作 ，项数无限的数列叫作 . 3.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么式 子叫作数列an的 . 4.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种： 、 、 . 答案 1.(1)次序 (2)项 (3)an 首项 通项 2.有穷数列 无穷数列 3.通项公式 4.列表法 图像法 解析法 思路方法技巧思路方法技巧 命题方向 数列的概念 例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1; (5)6,6,6,6,
14、6. 分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及 定义来解决. 解析 （1）是集合，不是数列；（2） 、 （3） 、 （4） 、 （5）是数列. 其中（3） 、 （4）是无穷数列， （2） 、 （5）是有穷数列. 变式应用 1 下列说法正确的是( ) A.数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列 B.数列 1,2,3 与数列 1,2,3,是同一数列C. 1,4,2, ，不是数列315D.数列2n-3与-1,1,3,5,不一定是同一数列 答案 D 解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两 个数列前者为有穷数列，后者为
15、无穷数列，故 A、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列 2n-3是确定数列，通项公式为an=2n-3，但-1,1,3,5，前 4 项符合an=2n-3,但后面的 项不一定符合此规律，故不一定是同一数列. 命题方向 数列的通项公式 例 2 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2) ，；32 154 356 638(3) ,2, ，8，;21 29 225(4) ，.1122 3232 5342 7452分析 通过观察，找出所给出的项与项数n关系的规律，再写通项公式. 解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n， 故
16、原数列的一个通项公式为an=2n+1. (2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2n，分母各项分解因式： 13,35，57，79,为相邻奇数的乘积，即(2n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为an=.) 12)(12(2 nnn(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列,，中，分母为 2，分子为n2，故an=.21 24 29 216 225 22n(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其通项公式为 2n-1；分子的 前 一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an=.12
