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1、第二章第二章 解三角形解三角形1.21.2 余弦定理余弦定理教学目标教学目标 1 1知识与技能知识与技能: :掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.2.过程与方法过程与方法: :利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3 3情态与价值：情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通 过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普 遍联系与辩证统一 教学重点教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 教学难点教学难点：勾股定
2、理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 学法学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是 研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题， 利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形 式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学设想教学设想 创设情景创设情景 C 如图 11-4，在ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和C，求边 c b aA c B 探索研究探索研究 (图 11-4) 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。 由于
3、涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图 11-5，设，那么，则 C Bauu rr C A buu rr ABcuu rr cabrrrbr crC Bar(图 11-5)22222cc cababa ab ba b aba b rr rrrrrr rr rr r rrr r从而 2222coscababC同理可证 2222cosabcbcA2222cosbacacB余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbacacB思考：这个式子中有几个量？从方
4、程的角度看已知其中三个量，可以求出第四 个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222 cos2bcaAbc222 cos2acbBac222 cos2bacCba 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指 出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时090cos0C222cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
5、理的特例例题例题: :例 1在ABC 中，已知，求 b 及 A2 3a62c060B解：2222cosbacacB=cos22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62) 045= 8 212 ( 62)4 3( 3 1)2 2.b求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos 222222(2 2)( 62 )(2 3)1, 222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二：sin又02 3sinsin45 ,2 2aABb622.4 1.4 3.8, ， 即 2 32 1.8 3.6,ac00A090 ,060 .A评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。例 2在ABC 中
6、，已知，解三角形134.6acm87.8bcm161.7ccm解：由余弦定理的推论得：cos ；2222bcaAbc22287.8161.7134.6 2 87.8 161.70.5543,056 20Acos ；2222cabBca222134.6161.787.8 2 134.6 161.70.8398,032 53B0000180() 180(56 2032 53)CA B090 47. 随堂练习随堂练习 第 51 页练习第 1、2、3 题。 补充练习补充练习 在ABC 中，若，求角 A（答案：A=120 ）222abcbc0 课堂小结课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律， 勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边。（五）：作业（五）：作业：第 52 页习题2.1A 组第 5 题。
