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1、中小学数学 2 0 1 4 年 I 、 2 月中旬( 初中) 图形构造精彩 安徽省当涂县大陇中学( 2 4 3 1 5 5 ) 倪并隆 王春宏 为了帮助大家做好中考复习， 特将2 0 1 1 年安徽省 中考数学压轴题( 第2 3 题) 的各种解法罗列出来， 供大 家复习参考 试题如图1 ， 正方形A B C D的四个顶点分别在四 条平行线f 、 、 f J 、 上， 这四条直线中相邻两条直线之 间的距离依次为h 、 、 h j ( D ， h 2 D ， 历D ) ( 1 ) 求证h = ； ( 2 ) 设正方形A B C D 的面积为S求证s ： 1 + 2 ) 2 + (3 ) 若 量 1
2、 + z = 1 ， 当 变 化 时 ， 说 明 正 方 形 A B C D的面积为S 随石 的变化情况 C 图 1 C 图 2 这道 中考压轴题 以平行线和 正方形为 载体 ， 将几 ( 接上页) 以用图象表示为( ) A A L J U 解析 ( 1 ) 当 0 4时， y = s 一 s 蚺= 4 x4 一 户吉 t2+ 8 ， ( 2 ) 当 4 8 时 ， = s 一一 s c = X4 X4 一 ( s - t ) ( s - t ) 一 ( 8 - t ) 。 + 8 ， 所以， 与 之间的函数关系可以用两段二次函数 图象 表 示 ， 纵 观 各 选 项 只有 B 诜 项 图象
3、符 合 故 =i 先B 例 4 ( 2 0 1 2 年 安徽) 如 图 4 ， A点 在 半径 为 2的o0 上 ， 过线段 O A上 的一 点P 作 直 线 ， 与 o0过 A点 的切 线 交于点 B ， 且A A P B = 6 0 。 ， 设O P =z， 则 x P A B的面积 Y 关于 z的函数图像大致是 第 6 2 页 图 4 2 2 2 A B C D 解 析。 A B与6 3 0相切 ， 。 Z B A P =- 9 0 。 ， 又 O P=- x， AJp = 2 ， A BP A = 6 0。 ， 。AB = ( 2一 )， A P B的面积 v = ( 2 一 ) ，
4、( O 2 ) 彭rj D 。 方法感悟： 解答此类问题需要运用运动和变化的 眼光去观察和研究问题， 挖掘运动、 变化的全过程， 并 特别关注运动与变化中的不变量、 不变关系或特殊关 系， 抓住动点的瞬间状态， 或者相对静止时的状态， 动 中取静， 静中求动， 综合运用函数 、 方程、 分类讨论、 数 形结合等数学思想 具体步骤可分为三步： 一析、 二推、 三选 一析， 就 是认真分析题意， 彻底弄清楚动点从何点开始出发， 运动到何点停止， 整个运动过程分为不同的几段， 何 点( 时刻) 是特殊点( 时刻) ： 二推， 就是在第一步分析 的基础上进行推导、 计算、 写出动点在不同路段的函 数解
5、析式， 注意一定要注明自变量的取值范围， 求出 在特殊点时的函数值和 自变量的值； 三选， 就是根据 解析式选择准确的函数图象或答案， 多用排除法 首 先， 排除不符合函数类形的图象选项， 其次， 对于相同 函数类型的函数图象选项， 再用 自变量的取值范围或 函数数值的最大和最小值进行排除， 选出准确答案 中小学数学 2 0 1 4 年 1 、 2 月中旬( 初中) 何和代数融为一体 在设计方法上能够注重创新， 立足 于初中数学主干知识的交汇点展开命题； 在考查意图 上既强调新思想、 新理念的渗透和培养， 又强调数学 思想方法和能力的理解与提高； 同时突出了对考生的 发散思维能力、 动手探究能
6、力、 创新能力、 审美能力和 综合运用知识能力等方面的考查， 在解题方法上给学 生留下了广阔的选择空间 1 解答第( 1 ) 小题 证法 l 在正方形内做垂线( 如图2 ) ， 利用平行线 性质和全等三角形对应边相等来证明 如图2 ， 过A点作A E L I 2 交 于点E， 过C点作C F _ I_ I 交 石于 点 因 为 A B C D， 厶 ， 所 以L A B E = - c D F， 又 因 为 A B=C D， 厶4 肋 =LC F D=9 0 。 ， 易证 A 脞C D F ， 故A E= ， 根据平行线间的距离处处 相等得h ， =h 3 评析 绝大部分考生都是运用这种方法证
7、明的 虽 然找LA B E=LC D F学生难以想到， 但这种作辅 助线的 方法为第( 2 ) 小题的证明奠定了基础 证法 2 在正方形外做垂线( 如图3 ) ， 也是利用平 行线性质和全等三角形对应边相等来证 明 与方法 1 相 比只是构图有些不同， 而证明方法是一样的， 但是 它能为证明第( 2 ) 小题用到“ 勾股图” 提供一个良好的 启示 C F 图3 G C F 图4 证法 3 如图4 ， 利用同角的余角相等和全等三角 形性质来证明 厶4 船+ LC BG=9 0 。 ， 厶4 E+ B= - 9 0 。 L B A E =L C B G， 易 证 “A B E B C G 同 理
8、日 C G C DF ， 故AA B E -, “ AC D F， 最后由艇 =DF 推出 = 评析 此证明方法同方法2 相比看似走了许多弯 路( 用到“ 二次全等” ) ， 但是可以为后续第( 2 ) 小题中 用方法 l 来证明提供一个很好的思路 证法4 如图5 ， 过点A作A F 上 厶伽 j _ 厶由已知得 A DF =LD C G 同理LC B H=Z z D C G , A D F=LC B H 又 B C =D A ， 8 H c =LD F A=9 0 o ， A D 虺AC B 日， C =A F， 即 ： h 2 +3 ； h 2 +h 1 ， h 1 =h 3 证法5 不作
9、任何辅助线， 直接根据图1 ， 利用平 行四边形性质和全等三角形对应边上的高相等来证 明 C 图5 丑 、 -、 图 6 设A D和 相交于层点， B C和 相交于，点， 则四 边形B E DF 是平行四边形， 所 以B E =D F ， 易证 A B E C D F， 故B E和DF 边上的高也相等， 即h =h e 证法 6 利用面积关系来证 明 如图6 ， 由上可知 B E D F为平行四边形 ， 连B D， 由面积关系知R t A B E 和R t AC D F的面积相等， 由B E=D F得h i =h 3 证法7 利用三角函数来证明 如图6 ， 设厶4 E ：口， 贝 C =9 0
10、 。 一O t = LD F G 6 l 而 D C 口 ， h 1 =ABs i n 口， h 2 =C Ds i n O t ， 由A B=C D得 h 1 =h 3 评析上述5 、 6 、 7 三种方法虽然简洁明快， 非常 完美， 但不足是： 一来大家不易想到利用全等三角形 对应边上高相等、 面积关系和三角函数这些性质； 二 来与第( 2 ) 题证明的思路衔接不大， 影响了思维的延 续性， 不能为后续的解题提供很好的参考和帮助 2 解答第( 2 ) 小题 证法 1 ： 构建全等三角形( 如图7 ) ， 利用勾股定理 来证明 分析 要证s =( 1 +h 2 ) +h i 2 ， 就是证明
11、B C。 = ( 1 + 2) + 1 证明由( 1 ) 中方法3 可知A曰 c G AC DF , 即曰 G = h 1 + 2 ， C G =D F =h 3 = 1 ， 在R t B C G中， 根据勾股定理 得B C ： l + 2 ) + 1 ， 所以s = 1 + 2 +1 I 图 7 C 图8 证法2 构建赵爽“ 弦图” ( 如图8 ) ， 利用面积关系 来证 明 因为图8中正方形A B C D的面积等于4 个全等的 直角三角形面积加上中间小正方形的面积， 所以s = 4 - 1( 1+ 2 ) 1 + 2 ， 化简得Js ：( 1 + 2 ) 。 +h i 2 证法3 构建毕达
12、哥拉斯“ 勾股图” ( 如图9 ) ， 利用 面积关系来证明 由于图9 中正方形A B C D的面积等于图中大正方 第 6 3 页 中小学数学 2 0 1 4 年 1 、 2月中旬( 初中) 形的面积减去4 个全等的直角三角形面积， 所以S = ( h 1 +h 2 + 3 ) 一 4 丢 ( 1 + 2 ) h 1 ， 化 简 得 s = ( l + 2 ) + 1 C 图 9 C 图 1 0 证法 4 构建“ 总统证法” 图形( 如图 1 0 ) ， 利用面 积关系来证明 分析 图1 0 中正方形A B C D 面积等于2 倍的R t 曰 C D 的面积， 而R t AB C D的面积又等
13、于图中梯形的面积减 1 去2 个全等的直角三角形面积， 即： S =2 ( 告( h l + 厶 1 2 + 3 ) ( 矗 1 + 2 + 3 ) 一2 去( 矗 l + 2 ) x h 1 ) ， 化简得 L a S = ( 矗 1 +h ， ) +h i 2 证法5 构建“ 平面直角坐标系” ( 如图 1 1 ) ， 利用 两点间的距离公式来证明 分析此方法 学生用 的很 少 ， 但它却是证 明中常 用的一种方法“ 解析法” ， 尤其对学生升入高中阶 段后进一步学习数学有好处 由图1 1 结合三角形全等 可知曰 、 C的坐标是B ( O ， h i + 2 ) 、 C( h 1 ， D
14、) ， 再根据两点 问的距离公式求 出正方形边长 B C ， 最后利用 正方形 面 积公式求出5 =( 1 + 2 ) + l 2 l , A 图 1 1 图 1 2 证 法 6利 用 相 似 来 证 明 ( 如 图 1 2 ) 作A F 上 厶分别交 、 于点E、 设A D交 于G， 易证 aA B E D A F ， B E=AF=h z + l ， A E=DF=h 1 ， 由 伽 A F D 知 A E = 器， 即 = ， B G =B E +E G = 2 + l +而h i z i ， S =2 BG x AEWBG EF= ( h 1 + 2 ) - -F h l 2 第 6
15、4 页 证法7 ： 利用旋转对称来证明( 如图1 3 ) 过 点作p P 上 交直线 、 、 于 Q 、 M、 P ， 过A点作A Ei 3 , 垂 足 为 ， 过 C点 作 C F iA ， 垂足 为 F ， 则将 AA E D以A为旋转中心 顺时针旋转9 O 与AA Q B重合， 将 aC D F以C点为旋转 中心逆 P C 图 1 3 时针旋转 9 0 。与 AC B P重合 ， 进 而得正方形 A E MQ与 方7 C F P , 且这两个正方形面积之和等于正方形 A B C D的面积 5 ：( 1 +矗 2 ) 。 + 1 3 解答第( 3 ) 小题 第( 3 ) 小题是考查学生利用二次函数模型讨论正 方形A B C D的面积Js 随 的变化情况 阅 中发现学 生主要有二种叙述方法 ， 一是利用二
