《人教A版高中数学必修二4.2.3《直线与圆的方程的应用》word教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修二4.2.3《直线与圆的方程的应用》word教案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用一、教材分析一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题, 分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其 解题过程. 二、教学目标二、教学目标 1知识与技能知识与技能 （1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用. （2）会用“数形结合”的数学思想解决问题. 2过程与方法过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面 几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将
2、代数运算结果“翻译”成几何结论. 3情态与价值观情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决 问题的能力. 三、教学重点与难点三、教学重点与难点 教学重点：教学重点：求圆的应用性问题. 教学难点：教学难点：直线与圆的方程的应用. 四、课时安排四、课时安排 1 课时 五、教学设计五、教学设计 （一）导入新课（一）导入新课 思路思路 1.如图 1,某城市中的高空观览车的高度是 100 m,图 1在离观览车约 150 m 处有一建筑物,某人在离建筑物 100 m 的地方刚好可以看到观览车,你 根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研
3、究直线与圆的方程的 应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用. 思路思路 2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那 么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的 应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.（二）推进新课、新知探究、提出问题（二）推进新课、新知探究、提出问题 你能说出直线与圆的位置关系吗？ 解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？ 阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的问题？你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ 你能利用“坐标法”解决例 5 吗？ 活动：活动：学生回忆,教师引导,教师提
4、问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难 教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.学生回顾学习的直线 与圆的位置关系的种类；解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；首先考虑问 题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用 坐标法,两种方法比较可知哪个简单；回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件； 利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到 结论. 讨论结果：讨论结果：直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离. 解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心
5、到直线 的距离与半径的关系来解决. 阅读并思考教科书上的例 4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较. 你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于 D、E、F 的三个 独立的条件也可. 建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.（三）应用示例（三）应用示例 思路思路 1 例 1 讲解课本 4.2 节例 4,解法一见课本.图 2 解法二：解法二：如图 2,过 P2作 P2HOP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在 RtAOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为 r,则有 r2=(r-4)2+102. 解得 r=14.5. 在 RtCP
6、2H 中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.514.36-10.5=3.86.25.206所以支柱 A2P2的长度约为 3.86 cm. 点评：点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当 的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 把两种解法比较可以看出坐标
7、法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.图 3 解解:如图 3,以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA、DB 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建 立适当的平面直角坐标系,设 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 过四边形 ABCD 的外接圆的圆心 O1分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂足分别为 M、N、E,则 M、N、E 分别为线段 AC、BD、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=. 1Ox2ca 1Oy2db 2a
8、2d所以|O1E|=.2222 21)222()222(cbddbaca又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.22cb 21点评点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆. 将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何 意义,得到几何问题的结论.例 2 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回 运的运费是：每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10 km,居民 选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求 A、B 两地
9、的售货 区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 活动：活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系, 这里以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距 A 地 近,且费用低,列方程或不等式. 解解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(5,0),B(5,0). 设某地 P 的坐标为(x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费为 3a 元 /km,则 B 地运费为 a 元/km.由于 P 地居民购买商品的总费用
10、满足条件：价格+A 地运费价 格+B 地运费,即 3aa,整理得(x+)2+y2()2.22)5(yx22)5(yx425 415所以以点 C(-,0)为圆心,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从425 415A 地购货费用较低,圆外的居民从 B 地购货费用较低,圆上的居民从 A、B 两地购货的总费用 相等,因此可以随意从 A、B 两地之一购货. 点评点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关 实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路思路 2例 1 求通过直线 2x-y+3=0 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,且
11、面积最小的圆的方程. 活动活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+)2+(y-2-)2=(1+)2+(2+)2-3-1,2 2r2=2+4=(+)2+,45 45 52 519当 =-时,半径 r=最小.52 519所求面积最小的圆的方程为 5x2+5y2+6x-18y-1=0. 解法二解法二:利用平面几何知识, 以直线与圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.由消去 y,得 5x2+6x-2=0.
12、, 0142, 03222yxyxyx判别式 0,AB 中点横坐标 x0=-,纵坐标 y0=2x0+3=,221xx 53 59即圆心 O(-,).53 59又半径 r=|x1-x2|=,21221519所求面积最小的圆的方程是(x+)2+(y-)2=.53 59 519点评点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x1-x2|;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=21k,其中 r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.22dr 变式训练变式训练设圆满足截 y 轴所得弦长为 2,被 x 轴分成两段弧,弧长之比为 31,在满足条
13、件 的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.图 4 解解:关键确定圆心坐标和半径.如图 4.设圆心 A(a,b),则半径 r=|b|.2由截 y 轴的弦长为 2,知 a2+1=r2=2b2,又圆心 A 到 l 的距离 d=|a-2b|,515d2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当 a=b 时等号成立.这里由解得 ,2,1,2222rbraba. 2, 1, 12, 1, 1rbarba或圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2.例 2 已知 x,y 是实数,且 x2+y2-4x-6y+1
14、2=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y 的最值;(4)xyx-y 的最值. 活动：活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解解:(x-2)2+(y-3)2=1 表示以点 C(2,3)为圆心,1 为半径的圆.(1)表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点 O(0,0)连线的斜率 k,xy故当 y=kx 为圆 C 的切线时,k 得最值.=1,k=2. 21|32|kk 323的最大值为 2+,最小值为 2-.xy 323323(2)设 x2+y2表示圆 C 上的点 P(x,y)与坐标原点 O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几 何知识,知
15、当 P 为直线 OC 与圆 C 的两交点 P1、P2时,OP12与 OP22分别为 OP2的最大值、最 小值.x2+y2的最大值为(+1)2=14+2,2232 13最小值为(-1)2=14-2.2232 13(3)令 x+y=m, 当直线 l:x+y=m 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距 m 取得最值.=1,m=5.2|32|m2x+y 的最大值为 5+,最小值为 5-.22(4)令 x-y=n, 当直线 l:x-y=n 与圆 C 相切时,l在 y 轴上截距的相反数 n 取得最值.=1,n=-1.2|32|n2x-y 的最大值为-1+,最小值为-1-.22点评点评:从“数”中认识“形”
16、,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之 一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结 合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一, 而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题 目.例 3 已知圆 O 的方程为 x2+y2=9,求过点 A(1,2)所作的弦的中点的轨迹. 活动：活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平 面几何的知识. 解法一解法一:参数法(常规方法)设过 A 的弦所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则消 y,得 ),2(, 922kkxyyx(1+k2)x2+
