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1、 5.2.2 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质(二二)教学目标：教学目标：(一)教学知识点1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二)能力训练要求1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.(三)情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努 力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完 成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能
2、使他们互相增进友谊. 教学重点：教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质. 教学难点：教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质. 教学方法：教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法. 教具准备：教具准备：多媒体课件 教学过程：教学过程：.创设问题情境，引入新课师上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当 k0 时,函数图象的 两个分支分别位于第一、三象限内；当 k0 时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数 y=与 y=-的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限x4 x4来研究了反比例函数的.我们知
3、道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当 k0 时，y 的值随 x 的增 大而增大，当 k0 时，y 的值随 x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情 况，以及函数图象与 x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质. 新课讲解1.做做师观察反比例函数 y=，y=,y=的形式，它们有什么共同点?x2 x4 x6生表达式中的 k 都是大于零的. 师大家的观察能力非同一般呐! 下面再用你们的慧眼观察它们的 图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限? (2)在每一个象限内，随着 x 值的增大.y 的值是怎样变化 的?能说明这是为什么吗？ (3
4、)反比例函数的图象可能与 x 轴相交吗?可能与 y 轴相交吗？为什么？师请大家先独立思考，再互相交流得出结论.生(1)函数图象分别位于第一、三象限内. (2)从图象的变化趋势来看，当自变量 x 逐渐增大时， 函数值 y 逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近 x 轴,y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与 x 轴 y 轴相交.师大家同意他的观点吗?生不同意(3)小的观点.师能解释一下你的观点吗？生从关系式 y中看,因为 x0，所以图象与 y 轴不可能能有交点；因为不论 x 取x2任何实数，2 是常数，y永远也不为 0，所以图象与 x 轴心也不可能有交点.x2师对于(1)和(3)我不需要再
5、说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充下(2).观察函数 y的图象，在第一象限我任取两点 A（x1,y1） ，B(x2,y2)，分别向 x 轴,y 轴x2作垂线，找到对应的 x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较出 x1与 x2,y1与 y2的大小，所以就可 判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知 x1x2,y2y1,所以在第一象限内 有 y 随 x 的增大而减小.同理可知在其他象限内 y 随 x 的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种 情况.生情况都一样.师能不能总结一下. 生当 k0 时，函数图象分别位于第一、三象限 内，并且在每一个象限内，y 随
6、x 的增大而减小.2.议一议师刚才我们研究了 y，y,y=的图象的性质，x2 x4 x6下面用类推的方法来研究 y-，y-,y=-的图象x2 x4 x6有哪些共同特征?生(1)y=-，y=-，y=-中的 k 都小于 0，它们的图象都位于第二，四象限，所以x2 x4 x6当 Ax2，y1y2，所以x2可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值 y 随自变量 x 的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交.师通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数 y的图象，当 k0 时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而减小；xk当 k0 时，
7、在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大.3.想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点 P、Q，过点 Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴 围成的矩形面积为 S1；过点 Q 分别作 x 轴 y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S2，S1与 S2有什么关系?为什么? (2)将反比例函数的图象绕原点旋转 180后.能与原来的图象重合吗? 师在下面的图象上进行探讨.生设 P(x1,y1)，过 P 点分别作 x 轴，y 轴的平行线，与 两坐标轴围成的矩形面积为 S1，则 S1=x1y1=x1y1.(x1,y1)在反比例函数 y图象上，所以 y1，即 x1y1k.xk1xkS1k.同理
8、可知 S2k，所以 S1S2 师从上面的图中可以看出，P、Q 两点在同一支曲线上， 如果 P，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢?生S1x1y1=k，S2=x2y2=k.师因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点 P、Q.不管 P、Q 是在同一支曲线 上，还是在不同的曲线上.过 P、Q 分别作 x.轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积 为 S1，S2，则有 S1S2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转 180后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课 中我们已做过研究.课堂练习P137.课时小结本节课学习了如下内容.1.反比例函数 y的图象，当 k0 时，在第一、三象限内，在每一象限内，
9、y 的值随，xk值的增大而减小；当 kO 时，图象在第二、四象限内，y 的值随 x 值的增大而增大.2.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，分别过 P，Q 作 x 轴、y 轴的平行线，与 坐标轴围成的矩形面积为 S1,S2，则有 S1S2.3.将反比例函数的图象绕原点旋转 180后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对 称图形.4.反比例函数的图象既不能与 x 轴相交也不能与 y 轴相交,但是当 x 的值越来越接近于 0 时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于 0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和 y 轴，但永远不会与 x 轴和 y 轴相交.课后作业习题 5.3.活动
10、与探究反比例函数图象与三等分角 历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角POH，过点 P 作 OH 的平行线，过点 O 作直线，两线相交于点 M,OM 交 PH 于点 Q，并使 QM=20P，设 N 为 OM 的中点.NP=NMOP,12=23.4=3，1=24.MOHPOH.31问题在于，如何确定线段 OM 两端点的位置，并且保证 O，Q，M 在同一条直线上?事 实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一 问题呢?帕普斯(Pappus，公元 300 前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角AOB 置于直角坐标系中，角的一边 OA
11、 与 y的图象交于点 P，以 P 为圆心；以 2OP 为半径作x1弧交图象于点 R.分别过点 P 和 B 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M，连接 OM 得 到MOB.(1)为什么矩形 PQRM 的顶点 Q 在直线 OM 上?(2)你能说明MOBAOB 的理由吗?31(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?解：(1)设 P、R 两点的坐标分别为 P(a1，),R(a2, )则 Q(a1，)，M(a2, ）.11 a21 a21 a11 a设直线 OM 的关系式为 ykx.当 xa2时，y=11 a=ka2,k=.y=x.11 a211 aa211 aa当 x=a1时，y=21 aQ(a1，)在直线 OM 上.21 a(2)四边形 PQRM 是矩形.PC=PR=CM.223.21PC=OP，12，3=4，1=24，即MOB=AOB.31(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法 三等分.
