2014人教A版数学必修一第三章3.2.2《函数模型的应用实例》目标导学

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1、3.2.23.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例 问题导学问题导学 一、分段函数模型应用举例 活动与探究 1 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元， 已知总收益满足函数： R(x)Error!其中x是仪器的月产量 (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本 利润) 迁移与应用 某商品在近 30 天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式是PError! 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Qt40,0t30，tN N*. (1)求这

2、种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式； (2)求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出在近 30 天中的第几天取得该最大 值求分段函数的最值时，要求出每一段上的最值，再比较这些最值，找出原函数的最小 值或最大值 二、自建函数模型应用举例 活动与探究 2 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图)，在窗框为定长l的条件下， 要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？迁移与应用 有一批材料可建成 200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地， 中间用同样的材料隔成 3 个面积相等的矩形(如图)，求围成的矩形场地的最大面积(围墙厚 度不计)用函数有关的知识建立数学

3、模型，需要做好以下几点： (1)通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口 (2)将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系 (3)在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学 模型 三、数据拟合型函数的应用问题 活动与探究 3 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品 金额/万元123456获纯利润/万元0.651.391.8521.841.40投资B种商品 金额/万元123456获纯利润/万元0.250.490.7611.261.51 该经营者准备下月投入 12 万元经

4、营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万 元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方 案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字) 迁移与应用 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积 雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续 10 年的实测资料，如下表所示 年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/公顷 115.228.6 210.421.1 321.240.5 418.636.6 526.449.8 623.445.0 713.529.2 816.734.1 924.045.8 1019.136.9 (1)描点画

5、出灌溉面积随最大积雪深度变化的图象； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； (3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为 25 cm，可以灌溉土地多少公顷？对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证 并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数模型，再利用函数解题函数 拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图； (2)通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所 有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是件十分完美的事情，但 在实际应用中，这种情况一般是不会发

6、生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲 线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据 当堂检测当堂检测 1今有一组数据如下： t1.993.04.05.16.12 v1.54.047.51218.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) Avlog2t Bv32t3Cv Dv2t2t21 2 2甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是 v2(v1v2)

7、，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为( )3某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4 000，而手套 出厂价格为每副 10 元该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A200 副 B400 副 C600 副 D800 副 4如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽 2 m，边坡的倾角为 45，水深h m，则横截面中有水面积A m2与水深h m 的函数关系式为_5某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：yError! 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录 用人数为_提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心

8、知识的精华 部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：答案： 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 预习交流预习交流 1 提示：(1)正比例函数模型：f(x)kx(k为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x) (k为常数，k0)；k x (3)一次函数模型：f(x)kxb(k，b为常数，k0)； (4)二次函数模型：f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)； (5)指数函数模型：f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b0，b1)； (6)对数函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，a0，a1)； (7)幂函数模型：f(x)axnb(a，b，n为常数，a0

9、，n1) 预习交流预习交流 2 提示：选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻 合因而，在解答这类问题时，先根据已知数据画出散点图，再根据散点图猜想函数模型， 通过待定系数法求模拟函数的解析式，最后通过数据验证 课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 思路分析：思路分析：解答本题可由已知总收益总成本利润，知利润总收 益总成本由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求 最值问题 解：解：(1)设每月产量为x台，则总成本为(20 000100x)元，从而f(x)Error!(2)当 0x400 时，f(x) (x300)225

10、 000，1 2 当x300 时，f(x)有最大值 25 000； 当x400 时，f(x)60 000100x是减函数 f(x)60 00010040025 000. 当x300 时，f(x)的最大值为 25 000. 每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25 000 元 迁移与应用迁移与应用 解：解：(1)这种商品的日销售金额yPQ.当 0t25 时， yPQ(t20)(t40)t220t800； 当 25t30 时， yPQ(t100)(t40)t2140t4 000. yError! (2)当 0t25 时，yt220t800(t10)2900， 即t10 时，y取最大值

11、 900. 当 25t30 时，yt2140t4 000(t70)2900. y(t70)2900 在25,30上是减函数， t25 时，y取最大值 1 125. 所以，日销售金额的最大值为 1 125 元，在最近 30 天中的第 25 天日销售额最大 活动与探究活动与探究 2 思路分析：思路分析：设出半圆的直径为x，用x表示出矩形的长和宽，进而用x 及l表示出窗户的面积，再求关于x的函数的最大值即可 解：解：设半圆的直径为x，矩形的宽为y，窗户透光面积为S，则窗框总长lxx2y， 2y.2l(2)x 4Sx2xyx2x 8 82l(2)x 42.4 8(x2l 4)l2 2(4) 由Erro

12、r!得Sf(x)的定义域为x.(0，2l 2)当x时，Smax，此时y ，2l 4l2 2(4)l 4x 2 所以，当窗户的矩形的宽等于半圆的半径时，窗户透光面积最大 迁移与应用迁移与应用 解：解：设场地宽为x m，则场地长为(2004x) m， 场地面积为Sx(2004x)4(x25)22 500(0x50) x25 时，S有最大值为 2 500. 故围成的矩形场地的最大面积是 2 500 m2. 活动与探究活动与探究 3 思路分析：思路分析：画出散点图，根据图象确定拟合函数利用待定系数法求 出函数解析式，利用函数求最值 解：解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图

13、，如图所 示观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次 函数模型进行模拟，如图(1)所示 取(4,2)为最高点，则ya(x4)22，再把点(1，0.65)代入，得 0.65a(14) 22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进 行模拟，如图(2)所示 设ykxb，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得Error!解得Error! 所以y0.25x. 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是 y0.15(x4)22；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金

14、额x的函数关系式 是y0.25x. 设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么 Error!所以W0.15(xA)20.15()22.6.19 619 6当xA3.2(万元)时，W取最大值，约为 4.1 万元，此时xB8.8(万元)19 6 即该经营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资A种商品，8.8 万元投资B种商品，可获 得最大利润约为 4.1 万元 迁移与应用迁移与应用 解：解：(1)描点作图如下：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x满足线性函数模型yabx. 取其中的两组数据(10

15、.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得 Error!用计算器计算可得a2.4，b1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y2.41.8x.作出函数图象如图(乙)，可以发现，这 个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积 的关系 (3)由y2.41.825，解得y47.4，即当最大积雪深度为 25 cm 时，可以灌溉土 地 47.4 公顷 【当堂检测当堂检测】1C 解析：解析：分别将t代入计算，函数v最符合t21 2 2B 解析：解析：v1v2，前半段路程用的时间长 3D 解析：解析：该厂所获得的利润为f(x)10xy10x(5x4 000)5x4 000. 由f(x)0，得 5x4 0000，解得x800. 4Ah22h(h0) 解析：解析：关键是求梯形上底 由已知得梯形上底为(22h) m，所以A 2(22h)hh22h(h0)1 2 525 解析：解析：令y60，若 4x60，则x1510，不合题意； 若 2x1060，则x