三角函数加减公式

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1、第 1 页三角函数加减公式三角函数加减公式诱导公式：诱导公式： 一、常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2 + ) = sincos(2 + ) = costan(2 + ) = tancot(2 + ) = cot 公式二： 设 为任意角，的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： + sin( + ) = - sincos( + ) = - costan( + ) = tancot( + ) = cot 公式三： 任意角 与的三角函数值之间的关系： sin( ) = - sincos( ) = costan( ) = tancot

2、( ) = cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到与 的三角函数值之间的关系： - sin( - ) = sincos( ) = costan( ) = tancot( ) = cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到与 的三角函数值之间的关系： 2 - sin(2 - ) = - sincos(2 ) = costan(2 ) = tancot(2 ) = cot 公式六： 与 的三角函数值之间的关系： 2 sin (2+ ) = coscos( 2+ ) = sintan( 2+ ) = cot第 2 页cot( 2+ ) = tansin (2 ) = coscos(2 ) =

3、 sintan(2 ) = cotcot(2 ) = tan二、诱导公式记忆口诀：（规律总结） 上面这些诱导公式可以概括为：对于的三角函数值，k 2 ( )1)是偶数时，得到 的同名函数值，即函数名不改变；k2)当 是奇数时，得到 相应的余函数值，k即； ；（奇变偶不变）sincos然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号（符号看象限） 。例如：，为偶数，所以取，sin(2 ) = sin (4 2 )k = 4sin当 是锐角时，符号为“” 。2 (270,360)sin(2 ) 0所以sin(2 ) = sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号

4、为把 视为锐角时，角，、 360 + ( ) 180 360 所在象限的原三角函数值的符号可记忆为：水平诱导名不变；符号看象限。水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为一全正；二正弦；三为 切；四余弦切；四余弦” 。 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“” ； 第二象限内只有正弦是“” ，其余全部是“” ； 第三象限内切函数是“” ，弦函数是“” ； 第四象限内只有余弦是“” ，其余全部是“” 上述记忆口诀，一全正，二正弦，三正切，四余弦其他三角函数知识：其他三角函数知识： 一、同角三角函数基本关

5、系： 同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan cot = 1sin csc = 1cos sec = 1第 3 页商的关系：sin cos = tan =sec csc cos sin = cot =csc sec 平方关系：sin2 + cos2 = 11 + tan2 = sec21 + cot2 = csc2同角三角函数关系六角形记忆法：构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1“的正六边形为模型。 1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； 2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘 积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积） 。由此，可得商数关

6、系式。 3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。二、两角和差公式： 两角和与差的三角函数公式：sin( + ) = sincos + cossinsin( ) = sincos cossincos( + ) = coscos sinsincos( ) = coscos + sinsintan( + ) =tan + tan 1 tan tan tan( - ) =tan tan 1 + tan tan 三、倍角公式： 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）：sin2 = 2sincoscos2 = cos2 sin2 =

7、 2cos2 1 = 1 2sin2tan2 =2tan 1 tan2四、半角公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）：sin22=1 cos 2cos22=1 + cos 2tan22=1 cos 1 + cos 第 4 页五、万能公式：sin =2tan21 + tan2 2 cos =1 tan2 21 + tan2 2tan =2tan 21 tan2 2万能公式推导：（因为）sin2 = 2sincos =2sin cos cos2 + sin2cos2 + sin2 = 1再把分式上下同除，可得cos2sin2 =2tan 1 + tan2 然后用 代替 即可。 2同理可

8、推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。六、三倍角公式： 三倍角的正弦、余弦和正切公式：sin3 = 3sin - 4sin3 = sin2cos + cos2sincos3 = 4cos3 - 3cos = cos2cos - sin2sintan3 =3tan tan31 3tan2 三倍角公式推导：sin3 = sin(2 + )= sin2cos + cos2sin= 2sincos2 + (1 2sin2)sin= 2sin 2sin3 + sin 2sin3= 3sin 4sin3cos3 = cos(2 + )= cos2cos sin2sin=(2cos2 1)

9、cos 2cossin2= 2cos3 cos 2cos + 2cos3= 4cos3 3cos 即：sin3 = 3sin - 4sin3cos3 = 4cos3 - 3cos第 5 页tan3 =sin 3 cos 3=sin 2cos + cos 2sin cos 2cos - sin 2sin =2sin cos2 + cos2sin sin3cos3 cos sin2 - 2sin2cos 上下同除以，得：cos3tan3 =3tan tan31 3tan2三倍角公式联想记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3 元 减 4 元 3 角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

10、余弦三倍角：4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余” ） 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。七、和差化积公式： 三角函数的和差化积公式：sin + sin = 2sin + 2 cos 2sin sin = 2cos + 2 sin 2cos + cos = 2cos + 2 cos 2cos cos = 2sin + 2 sin 2tan + tan =sin ( + )cos cos tan tan =sin ( )cos cos cot + cot =sin ( + )sin sin cot cot =sin ( )sin sin tan + cot

11、 =cos ( )cos sin tan cot =cos ( + )cos sin 八、积化和差公式： 三角函数的积化和差公式：sin cos = 0.5sin( + )+ sin( )cos sin = 0.5sin( + ) sin( )cos cos = 0.5cos( + )+ cos( )第 6 页sin sin = 0.5cos( + ) cos( )和差化积公式推导： 首先，我们知道sin( + )= sin cos + cos sinsin( - )= sin cos - cos sin 我们把两式相加就得到sin( + )+ sin( - )= 2sin cos所以，sin

12、 cos = sin( + )+ sin( ) 2同理，若把两式相减，就得到cos sin = sin( + ) sin( ) 2 同样的，我们还知道cos( + )= cos cos - sin sincos( - )= cos cos + sin sin 所以，把两式相加，我们就可以得到cos( + )+ cos( - )= 2cos cos所以我们就得到，cos cos = cos( + )+ cos( ) 2 同理，两式相减我们就得到 sin sin = cos( + ) cos( ) 2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sin cos = sin( + )+ sin( ) 2cos sin = sin( + ) sin( ) 2cos cos = cos( + )+ cos( ) 2sin sin = cos( +