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1、1.1 函数1.2 极限的概念1.3 极限的运算1.4 函数的连续性第第1章 函数极限与连续章 函数极限与连续结束前页前页结束结束后页后页当自变量当自变量x取数值取数值时，与对应的因变量时，与对应的因变量y的值的值称为函数称为函数在点处的函数值在点处的函数值,记为记为或或.当当x 取遍取遍D内的各个数值时内的各个数值时, 对应的变量对应的变量y 取值的全体组成取值的全体组成0xD0|x xy=0x0x0()f x定义定义1 设设x与与y是两个变量，若当变量是两个变量，若当变量x在非空数集在非空数集D内任内任取一个数值时，变量取一个数值时，变量x 按照某种对应法则按照某种对应法则f 总有一个确定
2、总有一个确定的数值的数值y 与之对应，则称变量与之对应，则称变量y为变量为变量x 的函数，记作的函数，记作称称D为该函数的定义域为该函数的定义域.记为记为Df称称x为自变量，称为自变量，称y为因变量为因变量.xD1.1.1 函数的概念函数的概念数集称做这个函数的值域数集称做这个函数的值域.记为记为Zf。1.1 函 数函 数( )yf x=( )yf x=前页前页结束结束后页后页1.1.2 函数的表示法函数的表示法例例1 已知某商品的总成本函数为：已知某商品的总成本函数为：2 ( )1004QCC Q=+例例2 某工厂全年某工厂全年16月原材料进货数量如下表，月原材料进货数量如下表， 这里表达的
3、是时间和原材料进货数量之间的关系这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系T(月)123456Q(吨)111012111212(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法系，是函数的公式表示法.如例如例1是用公式法表示函数是用公式法表示函数.(2)表格法 自变量表格法 自变量x与因变量与因变量y的一些对应值用表格列出的一些对应值用表格列出前页前页结束结束后页后页(3) 图示法 用函数图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量的图形给出自变量x与因变量与因变量y之间的关系之间的关系.例例3 需求需求函数与函数与供供给
4、函给函 数数. ,如图如图.P表示商品表示商品价价格格,Q表示表示需求需求量量,供供给量给量,E点点为为需求需求和和供供给给平衡平衡点点( )=Qf P( )=QPSSEQPOQ=(P)Q=f(P)说明说明 三三种表示法各有种表示法各有所长所长，缺缺一一不可不可，如，如三角三角函数，函数，三角三角 函数表，函数表，三角三角函数图函数图像像，都都是表示是表示三角三角函数，函数，可以相可以相 互补充。互补充。前页前页结束结束后页后页例例4 求求函数函数的定义域的定义域(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素主要要素。注注:(2)如如果果两个函数两个函数具具
5、有有相同相同的定义域和对应法则，则的定义域和对应法则，则它们它们是是相同相同的函数的函数(4)在在研究由研究由公式表达的函数时，公式表达的函数时，我们约我们约定：函数的定义定：函数的定义域是域是使使函数表达式有函数表达式有意意义的自变量的一义的自变量的一切实切实数值数值所所组组成的数集成的数集.(3)在在实际问题中实际问题中，函数的定义域是，函数的定义域是由实际意由实际意义确定的义确定的.1 3xyx+=+ 解解 当当分母分母时时,此此函数式函数式都都有有意意义义30x +因因此此函数的定义域为函数的定义域为(, 3)( 3,) +U前页前页结束结束后页后页例例5求求函数函数的定义域的定义域.
6、216ln(sin )yxx=+44,2(21) ,012xnxnn即即， ， ， ， 40,xx与与 =1时，时，它它严严格格单调增加单调增加；当当0对数函数对数函数是是指指数函数的数函数的反反函数，函数，它它的定的定义域为义域为.当当a1时，时，它它严严格格单调增加单调增加；当当0前页前页结束结束后页后页在在高高等等数学数学中中，常常用用到以到以e为为底底的的指指数函数和数函数和以以e为为底底的对数函数的对数函数(记作记作ln x), ln x称为自称为自然然对数对数.这里这里 e =2.718 2818 ， 是一个， 是一个无无理理数数.logexxe(4)三角三角函数函数常常用的用的三
7、角三角函数有：函数有：正弦正弦函数函数y=sin x;余弦余弦函数函数y=cos x;y=sin x与与y=cos x 的定义域的定义域均均为为，它们它们都都是是以以为为周期周期的函数，的函数，都都是有是有界界函数函数.(,) +2前页前页结束结束后页后页数，数，并且并且在在开区开区间间内内都都是是无无界界函数函数.正正切切函数函数y=tan x;(0, 1, 2,).2xnn=+=定义域为定义域为除去除去以以外外的全体的全体实实数数余余切切函数函数y=cot x;.), 2, 1, 0( 以以外外的全体的全体实实数数定义域为定义域为除去除去 =nnxtan x与与cot x是是以以 为为周期
8、周期的的周期周期函数，函数，并且并且在在其其定定义域内是义域内是无无界界函数函数.sin x ,tan x及及cot x是是奇奇函数，函数，cos x是是偶偶函数函数.此此外还外还有有正割正割函数函数y=secx,余割余割函数函数y=cscx,其其中中.它们都它们都是是以以为为周期周期的函的函xxxxsin1csc,cos1sec=)2, 0(2前页前页结束结束后页后页(5)反反三角三角函数函数三角三角函数函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和和y=cot x的的反反函函数数都都是是多多值函数，值函数，我们我们按下列按下列区区间取间取其其一个一个单单值值分分支支，称为，称为主主值
9、值分分支支，分分别别记作记作；定义域为 1 , 1,2,2,arcsin=yxy反正弦反正弦函数函数；定义域为 1 , 1, 0,arccos=yxy反余弦反余弦函数函数；定义域为),(),2,2(,arctan+=yxy反正反正切切函数函数).,(), 0(,cotarc+=定义域为yxy反余反余切切函数函数前页前页结束结束后页后页2 初初等等函数函数定义定义 由由常常数和数和基基本本初初等等函数函数经经过过有有限次四限次四则则运算运算或或经经过过有有限次限次复合复合运算运算所所构构成，成，并可并可用一个式用一个式子子表示的函表示的函数，称 为数，称 为初初等等函数函数.初初等等函数函数都可
10、以都可以用一个公式表式用一个公式表式222532 46(1)cosln1xyaxbxc yxxxyxx+=+=+=+例如 函数，例如 函数，等都等都是是初初等等函数函数；2 ,0,0xxxyx或或单调增加单调增加(或或单调减少单调减少)的函数的函数又又称为称为单调递增单调递增(单调递减单调递减)函数函数,统统称为称为单调单调函数函数,使使函数函数保持单调保持单调性性的自变量的取值的自变量的取值区区间称为该函数的间称为该函数的单调区单调区间间.前页前页结束结束后页后页函数函数内是内是单调减少单调减少的，在的，在区区间间上上是是单调增加单调增加的的,而而在在区区间间内则内则不不是是单调单调函数函数
11、.单调增加单调增加的函数的图形是的函数的图形是沿沿x 轴正向上升轴正向上升的的；单调减少单调减少的函数的图形是的函数的图形是沿沿x 轴正向轴正向下下降降的的；例如，函数例如，函数内是内是单调增加单调增加的的.3( )(,)f xx= +在在2( )(,0f xx=在在(,) +0,)+前页前页结束结束后页后页4 有有界性界性设函数设函数y =f (x)的定义域为的定义域为D，数集，数集,如如果果存存在在正正数数M，使使得得对对于于任任意意的的,都都有有不等不等式式成成立立，则称，则称f (x)在在X上上有有界界，如，如果果这这样样的的M不不存存在，在，就就称函数称函数f (x)在在X上上无无界
12、界.如如果果M为为f (x)的一个的一个界界，易易知知比比M大大的任的任何何一个一个正正数数都都是是f (x)的的界界.|( )|f xMxXXD如如果果f (x)在在x上上无无界界，那么那么对对于于任任意意一个给定的一个给定的正正数数M，X中中总有总有相相应的点，应的点，使使.Mx|()|Mf xM前页前页结束结束后页后页当函数当函数y=f (x)在在区区间间a,b上上有有界界时，函数时，函数y =f (x)的图形的图形恰好位恰好位于于直线直线y =M 和和y = 之间之间.这里取这里取= 1.函数函数y = sin x 的图形的图形位位于于直线直线y =1与与y = 1之间之间.例如，函数
13、例如，函数f (x)=sin x在在内是有内是有界界的的.这是因为对这是因为对于于任任意意的的，都都有有成成立立，),(+),(+x1|sin|x前页前页结束结束后页后页应该应该注注意意，函数的有，函数的有界性界性，不不仅仅仅仅要要注注意意函数的函数的特特点，点，还还要要注注意意自变量的变自变量的变化化范围范围.例如，函数例如，函数在在区区间间(1,2)内是有内是有界界的的.1( )f xx=1|( )| | 1f xx=都都有有成成立立，)2 , 1 (x事事实实上上，若取，若取=1，则对，则对于于任任何何而而在在区区间间(0,1)内是内是无无界界的的.1( )f xx=前页前页结束结束后页
14、后页1.1.7 函数关系的函数关系的建建立立例例14 某某运运输输公公司司规规定货定货物物的的吨千米吨千米运运价价为：在为：在千米千米以以内，内，每千米每千米k元元；超超过过千米千米，超超过部分过部分每千米每千米元元,求求运运价价P 和和运运送送里里程程s 之间的函数关系之间的函数关系4 5k解解根据根据题意可题意可列出函数关系如下列出函数关系如下()01000 41000100010005kss Pkk ssx0x( )f x0xx 0xAxf xx= +)(lim0+0xx+0xx限限，记为，记为0x0x0x前页前页结束结束后页后页函数的函数的极极限限与与左、右极左、右极限限有如下关系：有
15、如下关系：定定理理30lim( ) xxf xA =00lim( )lim( ) xxxxf xf xA +=注注:定定理理3常常用用来来判断判断分段分段函数在函数在分段分段点的点的极极限限是是否否存存在在例例2 判断判断函数函数1cos,0( )sin,0xxf xxx=在在点处是点处是否否有有极极限限.0x =00lim( )lim(1cos )0 xxf xx=解解: 00lim( )lim sin0 xxf xx+=00lim( )lim( )0 xxf xf x+=因为因为0lim( )0 xf x =所以所以前页前页结束结束后页后页定定理理4(唯唯一一性性定定理理) 如如果果函数在某一变函数在某一变化化过过程程中中有有极极限限，则，则其其极极限限是是唯唯一的一的2 函数函数极极限限的的性质性质定定理理5(有有界性界性定定理理) 若函数若函数f (x)当当xx0时时极极限存限存在，在，则则必必存存在在x0的某一的某一邻邻域，域，使使得得函数函数f (x)在该在该邻邻域内有域内有界界定定理理6(两两边夹边夹定定理理) 如如果果对对于于x0的某的某邻邻域内的一域内的一切切 x( 可以可以除外除外)，有，有，且且00lim()lim() xxxxh xg xA =0lim( ) xxf
