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1、第一讲第一讲 基本概念基本概念1线性方程组的基本概念线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为： ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL其中未知数的个数和方程式的个数不必相等。nm线性方程组的解是一个维向量（称为解向量解向量） ，它满足：当每个方程nnkkk,21L中的未知数都用替代时都成为等式。ixik线性方程组的解的情况有三种：无解，唯一解，无穷多解。对线性方程组讨论的主要问题有两个：（1）判断解的情况。 （2）求解，特别是在有无 穷多解时求通解。的线性方程组称为齐次线性方程组。021mbbbL维零向量总是齐次
2、线性方程组的解，称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有n 两种：唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解） 。把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成，所得到的齐次线性方程组称0 为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。2矩阵和向量矩阵和向量（1）基本概念）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展。由个数排列成的一个行列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个nmmn 型矩阵。例如nm81333924522011111012是一个矩阵，对于上面的线性方程组，称矩阵54和mnmmnnaaaaaaaaaALLLLLLL212222111211mmnmmnnbbbaaaaa
3、aaaaAL LLLLLLL21212222111211|为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系 数矩阵就体现其全部信息。一个矩阵中的数称为它的元素，位于第 行第列的数称为位元素。ijji,元素全为的矩阵称为零矩阵，通常就记作。00两个矩阵和相等（记作）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类ABBA 型相同） ，并且对应的元素都相等。由个数构成的有序数组称为一个维向量，称这些数为它的分量。nn书写中可用矩阵的形式来表示向量，例如分量依次是的向量可表示成naaa,21L或，naaa,21LnaaaM 21请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不
4、一样（左边是矩阵，n1 右边是矩阵） 。习惯上把它们分别称为行向量和列向量。 （请注意与下面规定的矩阵的1n 行向量和列向量概念的区别。 ）一个的矩阵的每一行是一个维向量，称为它的行向量；每一列是一个维向nmnm 量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵的列向量组为A时（它们都是表示为列的形式！）可记。n,21LnA,21L矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为的向量称为零向量，通常也记作。00两个向量和相等（记作） ，是指它的维数相等，并且对应的分量都相等。（2）线性运算和转置）线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的，下面以矩阵为例来说明。加（减）法：两个的矩阵
5、和可以相加（减） ，得到的和（差）仍是矩nmABnm阵，记作，法则为对应元素相加（减） 。BABA数乘：一个的矩阵与一个数可以相乘，乘积仍为的矩阵，记作，nmAcnmcA 法则为的每个元素乘。Ac这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律： 加法交换律：。 加法结合律：ABBA。CBACBA 加乘分配律：。cBcABAcdAcAAdc 数乘结合律：。 或。 AcdAdc00ccA0A转置：把一个的矩阵行和列互换，得到的的矩阵称为的转置，记作nmAmnA（或） 。 有以下规律：TAA 。 。 。 AATTTTTBABA TTcAcA转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向量上，就意味着把这个
6、向量看作矩阵了。当是列向量时，表示行向量，当是行向量时，表示列向量。TT向量组的线性组合：设是一组维向量，是一组数，则称s,21Lnsccc,21LsscccL2211为的（以为系数的）线性组合。s,21Lsccc,21L维向量组的线性组合也是维向量。nn（3）阶矩阵与几个特殊矩阵阶矩阵与几个特殊矩阵n行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为的矩阵也常常叫做阶矩阵。nn把阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线。 （其上的元素行号与列号相等。 ）n下面列出几类常用的阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的。n对角矩阵：对角线外的元素都为的阶矩阵。0n单位矩阵：对角线上的元素都为 的对角矩阵，记作（
7、或） 。1EI数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数的对角矩阵，它就是。ccE上三角矩阵：对角线下的元素都为的阶矩阵。0n下三角矩阵：对角线上的元素都为的阶矩阵。0n对称矩阵：满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元素总是AATjiji,ij,相等的阶矩阵。n（反对称矩阵：满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元AATjiji,ij,素之和总等于的阶矩阵。反对称矩阵对角线上的元素一定都是。 ）0n03矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换： 交换两行的位置。 用一个非 0 的常数乘某一行的各元素。 把某一行的倍数加到另一行上。(称这类变换为倍加变换)类似地，矩
8、阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了。初等行 变换与初等列变换统称初等变换。阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足： 如果它有零行，则都出现在下面。 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递 增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为台角。简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵，特点为： 台角位置的元素为 1。 并且其正上方的元素都为 0。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。这种运算是在线性 代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：1一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是
9、唯一的，但是其非零行数 和台角位置是确定的。2一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的。4线性方程组的矩阵消元法线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程 组（即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组） 。线性方程组的同解变换有三种： 交换两个方程的上下位置。 用一个非 0 的常数乘某个方程。 把某个方程的倍数加到另一个方程上。以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。线性方程组求解的基本方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵消元 法。对非齐次线性方程组步骤如下：（1）写出方程组的增广矩阵，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵。|A|
10、B（2）用判别解的情况：|B如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。d|0 , 0 , 0L有解时看非零行数（不会大于未知数个数） ，时唯一解；时无穷多解。rrnnr nr （推论：当方程的个数时，不可能唯一解。 ）nm （3）有唯一解时求解的初等变换法：去掉的零行，得到一个矩阵，并用初等行变换把它化为简|B1 nn00|B单阶梯形矩阵，则就是解。|E对齐次线性方程组：（1）写出方程组的系数矩阵，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵。AB（2）用判别解的情况：非零行数时只有零解：时有非零解（求解方法Bnr nr 在第五章讲） 。 （推论：当方程的个数时，有非零解。 ）nm 讨论题1设是阶矩阵，则An
11、（A）是上三角矩阵是阶梯形矩阵。AA（B）是上三角矩阵是阶梯形矩阵。AA（C）是上三角矩阵是阶梯形矩阵。AA（D）是上三角矩阵与是阶梯形矩阵没有直接的因果关系。AA2下列命题中哪几个成立？（1）如果是阶梯形矩阵，则去掉任何一行还是阶梯形矩阵。AA（2）如果是阶梯形矩阵，则去掉任何一列还是阶梯形矩阵。AA（3）如果是阶梯形矩阵，则也是阶梯形矩阵。BA|A（4）如果是阶梯形矩阵，则也是阶梯形矩阵。BA|B（5）如果是阶梯形矩阵，则和都是阶梯形矩阵。 BAAB第二讲第二讲 行列式行列式一概念复习一概念复习1形式和意义形式和意义形式：用个数排列成的一个行列的表格，两边界以竖线，就成为一个阶行列2nnn
12、n式：nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211如果行列式的列向量组为，则此行列式可表示为。n,21Ln,21L意义：是一个算式，把这个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行2n列式的值。请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别。当两个行列式的值相等时，就可以在它们之间写等号！（不必形式一样，甚至阶数可 不同。 ）每个阶矩阵对应一个阶行列式，记作。nAnA行列式这一讲的核心问题是值的计算，以及判断一个行列式的值是否为。02定义（完全展开式）定义（完全展开式）阶和阶行列式的计算公式：23。21122211 22211211aaaaaaaa33211232231
13、1312213322113312312332211333231232221131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaa 一般地，一个阶行列式nnnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211的值是许多项的代数和，每一项都是取自不同行，不同列的个元素的乘积，其一般形式n 为：， nnjjjL 2121这里把相乘的个元素按照行标的大小顺序排列，它们的列标构成的一nnjjjL21n, 2 , 1L个全排列（称为一个元排列） ，共有个元排列，每个元排列对应一项，因此共有n! nnn 个项。! n所谓代数和是在求总和时每项先要乘或。规定为全排列11njjjL
14、21的逆序数（意义见下面） ，则项所乘的是。njjjL21nnjjjaL 2121 njjjL211全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数。逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和就是逆序数。例如求的逆序数：436512。10002323436512,215634002323 至此我们可以写出阶行列式的值：n。 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLL212121 212122221112111这里表示对所有元排列求和，称此式为阶行列式的完全展开式完全展开式。njjjL21nn用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大。只在
15、有大量元素为，使得只有少0 数项不为时，才可能用它作行列式的计算。例如对角行列式，上（下）三角行列式的值0 就等于主对角线上的元素的乘积，因为其它项都为。03化零降阶法化零降阶法把阶行列式的第 行和第列划去后所得到的阶行列式称为位元素的nij1nji,ija余子式，记作。称为元素的代数余子式代数余子式。ijM ijji ijMA1ija定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于该行（列）的各元素与其代数余子式乘 积之和。命题 第三类初等变换（倍加变换）不改变行列式的值。化零降阶法化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为，再用定理，于0 是化为计算一个低 阶的行列式。1化零降阶法是实际计算行列式的主要方法，因此应该熟练掌握。4其它性质其它性质行列式还有以下性质： 把行列式转置值不变，即。 某一行（列）的公因子可提出。于是，AAT。AccAn 对一行或一列可分解，即如
