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1、一、单项选择题（每题一、单项选择题（每题 2 2 分）分）1、已知,下列集族中， （ ）是上的拓扑. , , , , Xa b c d eXA B , , , , , , , Xaa ba c eT, , , , , , , , , , , Xa b ca b da b c eTC D 答案：C, , , , Xaa bT, , , , , , XabcdeT2、已知，拓扑,则=（ ） , , , Xa b c d, , XaTbA B C D 答案：DX b , , b c d3、 下列拓扑空间中，满足连续不变性的是（ ） 不A. 紧致 B. 可数紧致 C. 列紧 D. 序列紧致答案：C4、
2、 下列拓扑空间中，具有遗传性的是（ ）答案： D 不A. T1 空间 B. T2 空间 C. T3 空间 D. T4 空间5、设 A 为度量空间的任一非空子集，则下列命题不成立的是（ ）答案：B,dA. x 为 A 的边界点当前仅当,0d x Ad xAB. x 为 A 的聚点当且仅当,0d x A C. x 为 A 的内点当且仅当,0d x XAD.当且仅当xA,0d x A 6、在实数空间中，有理数集的内部是（ ）QQo A B Q C R -Q D R 答案：A7、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ）XXA B ()d ABABABABC D 答案: D()(
3、)( )d ABd Ad B( ( )( )d d AAd A8、设，令,则由产生的上的拓扑是（ , , , Xa b c d , , , , a b ccdBBX）A ,c,d,c,d,a,b,c B ,c,d,c,dXXC ,c,a,b,c D ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：AXX9、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，XpX| GXpGTX则（ ）是的基.TA B , | Bp xxXp |BxxXC D 答案：C , |Bp xxX | BxxXp10、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（ ）XXA 空间 B 紧致空间 C 可数补空间 D 非紧致空间 答案：A1T
4、二、填空（每题二、填空（每题 2 2 分）分）1、设,则的平庸拓扑为 ;答案： , Xa bX, TX2、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_.答案： R3、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集:fXYXYX的一个同胚，则称映射是一个 .答案：嵌入()f Xf4、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 ；答案：XX不连通空间。5、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个 .答XXX案：列紧空间三、判断（每题判断（每题 5 5 分，判断分，判断 2 2 分，理由分，理由 3 3 分）分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射
5、( ) 答案:理由：理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，XY:fXYAY都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所1)fAX（X1( )fA以是连续的. :fXY2、设，则是空间.( )答案：1,2 3X ，, ,1,3,1,3XT(,)X T1T理由：理由：因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而不是 空间X1T注：也可以考虑点和点注：也可以考虑点和点. .3、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间( )案：XX理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，则都AXBA,A B是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间
6、XABX,A B是一个不连通空.X4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：理由：理由：设是 Hausdorff 空间的一个紧致子集，则对于任何，若，则AXxXxA易知不是的凝聚点，因此，从而是一个闭集.xAAAA四、解答题（四、解答题（6+86+8 ）1、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.X答案：如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有开邻域，使得XAxXxU，于是的开覆盖没有有限子覆盖，从而不是紧() xUAxX|xUxXX致空间，矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.X2、设，试写出 X 上的所有拓扑.0,1,2X 五、证明题（五、证明题（8+8+10+108+8+10+10 ）1、设 A 为 X 中的连通子集，若存在 X 的开集 E 和 F，有，证明：EFAEF IU且.FAEAII或2、Q 的非空连通子集必是单点集i.eProof: 3、证明欧式空间去掉可数个点后仍是道路连通. 4、若 X 的每个紧致子集都是闭集，则 X 中的序列极限唯一.
