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1、线性代数知识点框架及习题解读线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目 s 和未知数的个数 n 可以相同，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1） 、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2） 、方程组如何求解，有多少个解；（3） 、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1） 、把某个方程的 k倍加到另外一个方程上去；（2） 、交换某两个方程的
2、位置；（3） 、用某个常数 k 乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形
3、方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解） ，再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现 0=d 这一项，则方程组无解，若未出现 0=d 一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目 r 等于未知量数目 n，方程组有唯一解，若 r=R(A+B)。至于证明本身，只是这两个命题在某种特殊情
4、况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。证明过程很多参考资料都给出了。26、非齐次线性方程组的练习，基本题型。27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点，通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解。28、讨论参数取值对方程组的解的影响，基本题，以向量组的语言给出而已。29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作为一个提高练习，不强求掌握。30、以抽象的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题之一，解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对象。31、32、
5、33 都是涉及解的结构的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示，由此可见基础解系本身就给出了许多强有力的信息，这个在题目中一定要多加利用。同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握。34 及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是 40 题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加书上例题，这里不再详述。通过三、四章的学习和练习，我们体会到，要学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的知识点，常常需要从不同的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角度）去理解同一个数学事实或数学命题，并
6、且它们通常还是可以互推的，所以在线代里， “见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简单的一环。同济五版线性代数习题解读（五）1、涉及与正交相关的条件的基本计算题，可作为运算方面的练习。2、施密特正交化的计算，很重要的基本题，要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆，最好是把正交化的整个过程搞清楚，也就是说：给你一组向量，你要把它们化成正交的，怎么做？可以先考虑简单情形，两个向量怎么正交化？很简单，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化，然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推，就不难理解施密特正交化中
7、每个公式的意义了。3、判断矩阵是不是正交阵，按定义即可，基本题。4、5 是简单的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义出发，都不难得到结论。6、求特征值和特征向量的基本题型，需要练习纯熟。7、证明特征值相同，按特征值定义即可，此命题可作为结论用。8、较难的一道题，把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察，关键在于问题的转化：有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决，要重点体会解题思路。9、10、11 都是与特征值有关的一些命题，从定义出发不难证明，线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们，把它们理解好。其中 10 题是一个常用的结论。12、13 是特征值
8、性质的应用，即特征值与矩阵特有的对应关系，比如矩阵作多项式运算，则其特征值也就该多项式规律变化，基本题，也是常见题型。14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义，何为相似？15、16 题涉及到相似对角化，这就要求把相似对角化的条件搞清楚，那么什么样的矩阵可相似对角化？条件是特征向量线性无关，从这点出发就可以解决问题。至于 16（1）则是特征值特征向量定义的直接考察。17、18 涉及到求矩阵的乘方，实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的，这里自然是化为对角阵以后计算，18 题是应用题形式。 19、20 题涉及正交的相似变换矩阵，基本题，计算量较大且容易出错，是值得重视的练习
9、。21、22、23 题则是特征值问题的反问题，实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可。值得注意的是：对一般矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的；对对称矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关，还是正交的，这显然是个更有用的结果。24 是一个重要命题，它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题。实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是 1，而且是对称的，所以必可对角化，故 0 是其 n-1 重特征值，至于非零特征值，也不难求出，就是这个列向量转置后生成的数。此题的结论很常用，要重点掌握。25 题涉及求矩阵的多项式运算，不外乎就是乘方运算，与 17、18 题类同。26、27 题考察二次
10、型的概念，基本题，要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵，反过来也一样。28、29 题考察用正交变换化二次型为标准型，实际上就是一个对角化的问题，但因为是对称矩阵，所以既可正交又可相似对角化。同时要注意二次型的几何意义：是一个二次曲面。曲面的形状在不同的坐标系下都是一样的，所以对于一个复杂的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通过化为主坐标系下的二次型（即标准型）来进行观察。30、综合性较强的一道题，转化为多元函数的条件极值问题即可。31、用配方法化二次型的练习，基本题，注意计算不要出错。32、33 都是判断二次型的正定性，对于具体给出的二次型，用顺序主子式的符号即可判断，这个是其中一个充分必
11、要条件。34、实际给出了正定的另一个充分必要条件，证明过程涉及一个抽象矩阵，故只能从最基本的正定的定义出发，此命题是一个有用的结论，要求掌握。 最后是一些线性代数核心知识点的相关思维训练学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。1、任何一个向量 =（a1, a2, ., an）都能由单位向量 1=（1, 0, ., 0）、2=（0, 1, .,
12、0）、n=（0, 0, ., 1）线性表出，且表示方式唯一。2、向量组 1，2，n 中任一个向量 i 可以由这个向量组线性表出。3、判断下列说法正确性：（1）“向量组 1，2，n，如果有全为零的数 k1, k2, ., kn 使得k1*1+k2*2+kn*n=0，则 1，2，n 线性无关。”（2）“如果有一组不全为零的数 k1, k2, ., kn，使得 k1*1+k2*2+kn*n0，则 1，2，n 线性无关。”（3）“若向量组1，2，n（n2）线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”4、三维空间中的任意 4 个向量必线性相关。5、n+1 个 n 维向量必线性相关。6、如果向量
13、组 1，2，3 线性无关，则向量组 21+2，2+53，43+31 也线性无关。7、如果向量组 1，2，3，4 线性无关，判断向量组 1+2，2+3，3+4，4+1 是否线性无关。8、如果向量 可以由向量组 1，2，n 线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是 1，2，n线性无关。9、设向量组 1，2，n 线性无关，=k1*1+k2*2+kn*n。如果对于某个 ki0，则用 替换 i 后得到的向量组 1，(i-1)，(i+1)，n 也线性无关。10、由非零向量组成的向量组 1，2，n（n2）线性无关的充分必要条件是每一个 i（10。判断一个二次型的正定性，一种选择是直接从定义出发，另一种方案可考虑利用规范型（因为无论正定负定都是一个定性而非定量的结论） ，而实际上正定二次型的许多性质也确实能通过其规范型相联系，这是值得注意的。
