线性规划习题精选精讲

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1、习题精选精讲1线性规划常见题型及解法线线性性规规划划是是新新教教材材中中新新增增的的内内容容之之一一，由由已已知知条条件件写写出出约约束束条条件件，并并作作出出可可行行域域，进进而而通通过过平平移移直直线线在在可可行行域域内内 求求 线线性性 目目标标函函数数的的最最优优解解是是最最常常见见的的题题型型， 除除此此之之外外，还还有有 以以下下六六类类常常见见题题型型。一、求线性目标函数的取值范围例例 1、若若 、 y 满满足足约约束束条条件件 ，则则 z=+2y 的的取取值值范范围围是是 2 2 2 y y （ ）A、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5解解：如如图图，作作出

2、出可可行行域域，作作直直线线l： +2y 0， 将将l 向向右右上上方方平平移移，过过点点A（ 2,0）时时，有有最最小小值值2，过过点点B（ 2,2）时时，有有最最大大值值6，故故选选A二 、求可行域的面积例例 2、不不等等式式组组表表示示的的平平面面区区域域的的面面积积为为 （ ）260 30 2y y y A、 4 B、 1 C、 5 D、无无穷穷大大解解：如如图图，作作出出可可行行域域，ABC 的的面面积积即即为为所所求求，由由梯梯形形OMBC 的的面面积积减减去去梯梯形形OMAC 的的面面积积即即可可，选选B三、求可行域中整点个数例例 3、满满足足 | |y|2 2 的的点点（ ，

3、y）中中整整点点（横横纵纵坐坐标标都都是是整整数数）有有（ ）A、 9 个个 B、 10 个个 C、 13 个个 D、 14 个个解解： | |y|2 2 等等价价于于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)yyyyyyyy pppp作作出出可可行行域域如如右右图图，是是正正方方形形内内部部（包包括括边边界界），容容易易得得到到整整点点个个数数为为13 个个，选选D四 、求 线性 目标函数中参数的取值范围例例 4、已已知知、 y 满满足足以以下下约约束束条条件件 ，使使 z=+ay(a0)取取得得5 50 3y y 最最小小值值的的最最优优解解有有无无数数个个，则则a 的的值值为为 （

4、 ）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1解解：如如图图，作作出出可可行行域域，作作直直线线l： +ay 0，要要使使 目目标标函函数数z=+ay(a0)取取得得最最小小值值的的最最优优解解有有无无数数个个， 则则将将 l 向向右右上上方方平平移移后后与与直直线线 +y 5 重重合合，故故a=1，选选 D五、 求 非线性 目标函数的最值yO + y = 5 y + 5 = 0Oy=3yO22=2y =2 + y =2BA2 + y 6= 0 = 5y 3 = 0OyABCMy =2习题精选精讲2例例 5、已已知知、 y 满满足足以以下下约约束束条条件件 ，则则 z=2+y2的的最最大大值值和和

5、最最小小值值分分别别是是 （ ）220 240 330y y y A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、，4 5132 5 5解解：如如图图，作作出出可可行行域域,2+y2是是点点（ ， y）到到原原点点的的距距离离的的平平方方，故故最最大大值值为为点点A（ 2,3）到到原原点点的的距距离离的的平平方方，即即|AO|2=13，最最小小值值为为原原点点到到直直线线2 y 2=0 的的距距离离的的平平方方，即即为为，4 5选选 C六、求约束条件中参数的取值范围例例 6、已已知知 |2 y m| 3 表表示示的的平平面面区区域域包包含含点点（ 0,0）和和（ 1,1） ，则则 m 的

6、的取取值值范范围围是是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ -3,3）解解： |2 y m| 3 等等价价于于230 230ym ym 由由右右图图可可知知 ,故故 0 m 3，选选 C33 30m m 线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。

7、例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二种有 56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?木料(单位 m3)产 品第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：设生产圆桌 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 而 z=6+10y. 005628. 008. 07209. 018. 0yyy如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线 l:6

8、+10y=0,即 l:3+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6+10y 取最大值O2 y = 0y 2 y + 3 = 02 + y - 2= 0 = 5 2y + 4 = 03 y 3 = 0OyA习题精选精讲3解方程组,得 M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大. 5628. 008. 07209. 018. 0yy:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例 2、某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只

9、鸡平均吃混合饲料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.51解:设每周需用谷物饲料 kg,动物饲料 y kg,每周总的饲料费用为 z 元,那么 ,而 z=0.28+0.9y05000005135000yyy如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线 0.28+0.9y =t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线 +y=35000 和直线的交点y51,即,时,饲料费用最低.)317500,387500(A387500

10、317500y所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例 3 图) (例 4 图)例 3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 的含量及成本:甲乙丙维生素 A(单位/千克)维生素 B(单位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005营养师想购这三种食物共 10 千克,使之所含维生素 A 不少于 4400 单位,维生素 B 不少于 4800 单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为 千克、y 千克

11、,则丙种食物为(10y)千克.、y 应满足线性条件为,化简得 4800)10(4002008004400)10(400600400yyyy 422 yy作出可行域如上图中阴影部分目标函数为 z=7+6y+5(10y)=2+y+50,令 m=2+y,作直线 l:2+y=0,则直线 2+y=m 经过可行域中 A(3,2)时,m 最小,即mmin=23+2=8，zmin=mmin+50=58 答: 甲、乙、丙三种食物各购 3 千克、2 千克、5 千克时成本最低,最低成本为 58 元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由得 422 yyz=2+y+50=(2y)+2y+504+22+50=58,当且

12、仅当 y=2,=3 时取等号习题精选精讲4总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知(这个式子中的“”也可以是“”或“=”号) nmnmnnmmmmbaaabaaabaaaLLLLL22112222212111212111n其中 aij (i=1,2,n, j=1,2,m),bi (i=1,2,n)都是常量,j (j=1,2,m) 是非负变量,求 z=c11+c22+cmm的最大值或最小值,这里 cj (j=1,2,m)是常量.(3)线性规划的理论和方法主

13、要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (,y) 通常要满足 ,yN ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1平移找解法平移找解法 作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线 l，直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最

14、优解.例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二种有 56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?木料(单位 m3) 产 品 第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：设生产圆桌 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 005628. 008. 07209. 018. 0yyy而 z=6+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线 l:6+10y=0,即 l:3+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6+10y 取最大值。解方程组,得 M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到