《微积分期中复习答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分期中复习答案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1 1、数轴、区间、领域、数轴、区间、领域 2 2、函数的概念、函数的概念：设有两个变量和，如果当某非空集合内任取一个数值时，xyD变量按照一定的法则(对应规律)，都有唯一确定的值与之对应，则称yfy是的函数。记作，其中变量称为自变量，它的取值范围称为函yx( )yf xxD数的定义域；变量称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作，即y( )Z f。( ) |( ),Z fy yf x xD函数的表示：函数的表示有三种。公式法、表格法和图示法。3 3、函数的几种特性、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。 4 4、初等函数、初等函数(1)
2、 基本初等函数 幂函数：(为任意实数)，yx， ykxb2yaxbxc 指数函数：(且)xya0a 1a 对数函数：(且)。logayx0a 1a 恒等式： log(0,1)aNaN aa换底公式： logloglogc a cbba运算的性质：，。logloglogaaaxyxylogloglogaaayyxx 三角函数：。sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,cscyx yx yx yx yx yx 反三角函数：。arcsin ,arccos ,arctan ,cotyx yx yx yarcx(2) 反函数： (3) 复合函数： 5 5、常见的经济函数、常见的经济函数(1)
3、成本函数、收益函数和利润函数， ，。01( )( )C xCC x( )( )R xp xx( )( )( )L xR xC x(2) 需求函数与供给函数( ),( )ddssQfp Qfp二、极限的概念与性质1 1、数列的极限、数列的极限 (1) 数列 (2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2 2、函数的极限、函数的极限(1) 当自变量时函数的极限x ( )f x(2) 当自变量时函数的极限0xx( )f x(3) 左右极限 3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。三、极限的运算1 1、极限的运算法则、极限的运算法则 2 2、两个重要极限、两个重要极限 (1
4、) 极限存在的准则数列极限的夹挤定理、函数极限的夹挤定理和单调有界数列必有极限。 (2) 两个重要极限。 0sinlim1 xx x1lim 1xxex3 3、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量 (1) 无穷小量的定义 (2) 无穷小量的性质 有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量； 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 (3) 无穷小量的比较高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小 无穷小量的替换四、函数的连续性1 1、函数连续的概念、函数连续的概念(1) 函数在一点处连续的定义设函数在点的某领域内有定义，如果，则称函数( )f x0x00lim( )() xxf xf x 在点处连续。(
5、 )f x0x函数在点处连续必须满足下列 3 个条件：0x在点有定义，即有确定的函数值；( )f x0x0()f x 极限存在，即左右极限，存在且相等。0lim( ) xxf x 0(0)f x 0(0)f x ()，即极限值等于函数值。00lim( )() xxf xf x 0lim0 xy 0lim( ) xxf x 0()f x(2) 函数在区间上连续的定义函数在内每一点连续，称在闭区间内连续。( )f x( , )a b( )f x( , )a b函数在内每一点连续，且在右连续，在点作连续，则( )f x( , )a bxaxb称在闭区间上连续。( )f x , a b2 2、连续函数
6、的运算与初等函数的连续性、连续函数的运算与初等函数的连续性 (1) 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数； (2) 连续函数的复合函数仍是连续函数； (3) 基本初等函数在其定于内都是连续的。 3 3、函数的间断点、函数的间断点 (1) 间断点的定义 (2) 间断点的分类 第一类间断点：第一类间断点： 若函数当时，左右极限都存在但不相等， 跳跃间断点( )f x0xx 若函数当时，左右极限都存在且相等，但是不等于函数值或函( )f x0xx数值无定义， 可去间断点 第二类间断点：第二类间断点： 除了第一类间断点外，其他间断点都称为第二类间断点。 4 4、闭区间上连续函数的性质、闭
7、区间上连续函数的性质最值性、介值性、零值定理。第二章 导数与微分一、导数的概念1 1、引例、引例 (1) 平面曲线上切线的斜率 (2) 总产量对时间的变化率 2 2、导数的定义、导数的定义(函数在一点可导的定义)设函数在点的某领域有定义，当自变量( )yf x0x在点处取得该变量，即自变量从改变到(，点x0xxx0x0xx0x 仍在该领域内)时，函数取得相应的该变量为0xx( )f x，00()()yf xxf x 若当时，比值的极限存在，即0x y x 0000()()limlim xxf xxf xy xx 存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记为( )f x0x，0()fx0()y x
8、0x xdy dx0x xdf dx即 。00 00()()()lim xf xxf xfxx 此时，称函数在点处可导。( )f x0x(函数在区间可导的定义)若函数在区间内每一点处都可导，则称( )f x( , )a b函数在区间内可导。这时对于任一个，都对应着函数( )f x( , )a b( , )xa b的一个确定的到数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为的导( )f x( )f x函数，简称导数，记作，。( )fx( )y xdy dxdf dx 即。 0()( )( )lim xf xxf xfxx 3 3、导数的几何意义、导数的几何意义函数在点处的导数在几何上就表示了曲线在点
9、( )yf x0x0()fx( )yf x处切线的斜率。00(,()xf x4 4、左导数与右导数、左导数与右导数如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，000( )()lim xxf xf x xx ( )f x0x记作，即 0()fx，00 0 0( )()()lim xxf xf xfxxx如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，000( )()lim xxf xf x xx ( )f x0x记作，即 0()fx。00 0 0( )()()lim xxf xf xfxxx显然，在点处可导的充要条件是在点处的左右导数存在且相等，( )f x0x( )f x0x即 。 000()()
10、()fxAfxfxA如果函数在开区间内可导，且与存在，则称在( )f x( , )a b( )fa( )fb( )f x上可导。 , a b5 5、函数可导与连续的关系、函数可导与连续的关系若函数在点处可导，则函数在点处连续(即可导必连( )yf x0x( )yf x0x续)。二、导数的基本公式与运算法则1 1、函数和、差、积、商的求导法则、函数和、差、积、商的求导法则( )( ) ( )( )u xv xu xv x( )( ) ( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x()2( )( ) ( )( ) ( )( )( )u xu x v xu x v x v xv
11、x( )0v x 2 2、反函数的求导法则、反函数的求导法则设函数在某一区间内单调、可导，且，则它的反函数( )xy( )0y在对应区间内也单调可导，且有( )yf x。1( )( )fxy3 3、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则。( )( )( )fxfux4 4、导数的基本公式、导数的基本公式 5 5、隐函数求导法则、隐函数求导法则 6 6、对数求导法则、对数求导法则三、高阶导数重点是二阶导数四、参数式函数的导数参数方程的求导法则，难点是参数方程的二阶导数。应用是求曲线的切线和 法线方程。五、函数的微分1 1、微分的定义、微分的定义设函数在点的某个领域内有定义，自变量自取得该变量(
12、)yf x0xx0xx，点仍在该领域内)，若函数的相应该变量0x 0xx，00()()yf xxf x 克表示为 ()yAxox 其中是只与有关而与无关的常数，是当时比高阶的无A0xx()ox0x x穷小量，则称函数在点处可微，并称为函数在点处( )yf x0xAx( )yf x0x的微分，记作， 0x xdf0x xdy0()df x即0x xdyAxg当时，也称为的线性主部。0A Axy函数在点可微的充分必要条件是函数在点处可导，此( )yf x0x( )yf x0x时，。0()Afx2 2、微分的几何意义、微分的几何意义 3 3、微分的运算、微分的运算 4 4、微分形式不变性、微分形式不
13、变性 5 5、微分在近似计算中的应用、微分在近似计算中的应用，000()()()yf xxf xfxx ，000()()()f xxf xfxx或 。00( )()()f xf xfxx第一章练习题选择题选择题1、设函数，则( )。D111( ) 21xxef x e 0lim( ) xf x A.0； B. ； C.1； D.不存在。1 22、设函数，则是的( )。D12 11( )1xxf xex1x ( )f xA.连续点； B.可去间断点； C.第一类(非可去)间断点； D.第二类间断点。3、设函数在内有定义，且( )f x(,) 1( ),0lim( ), ( )0 ,0xfxf x
14、ag xx x 则( )。DA.必是的第一类间断点；B. 必是的第二类间断点；0x ( )g x0x ( )g xC. 必是的连续点； D.在点处的连续性与的取值有0x ( )g x( )g x0x a关。4、当时，是的( )。C0x ln(1)xx2sin xA.高阶无穷小量； B.低阶无穷小量； C.同阶但非等价无穷小量； D.等价无穷大量。5、若( )，则当时，与为等价无穷小量。D0x x32sin xA.2； B.3； C.5； D.6.6、若z 在上有定义，且( )f x(,) 1,0lim( ), ( )0 ,0xfxf xa g xx x 则( )。DA. 必是的地一类间断点； 0x ( )g xB. 必是的地二类间断点；0x ( )g xC. 必是的连续点； 0x ( )g xD. 在点处的连续性与的取值有关。( )g x0x a7、设函数在上连续，且，则常数满足( D )。1( )bxf xaeRlim( )0 xf x , a bA； B； C； D。0,0ab0,0ab0,0ab0,0ab8、设，则( )。A0ablimnnnna
