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1、xy21定义 由函数和所构成的函数称为复合函数，其中)(ufy )(xgu )(xgfy 通常称为外层函数，称为内层函数。)(ufy )(xgu 求上述复合函数的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：)(xgfy （1）写出构成原复合函数的外层函数和内层函数；)(ufy )(xgu （2）求外层函数的单调区间（包括增区间和减区间）等；)(ufy BA、（3）令内层函数，求出的取值范围；Axgu)(xM（4）若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数M)(xgu M的一个单调区间；若不是内层函数的一个单调区间，则需把)(xgfy M)(xgu 划分成内层函数的若干个单调子区间，这
2、些单调子区间便分别是原复合函数M)(xgu 的单调区间；)(xgfy （5）根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数在集)(xgfy 合或这些单调子区间的增减性；M（6）令内层函数，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层Bxgu)(函数还有更多的单调区间、，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。)(ufy CD（7）设单调函数为外层函数，为内层函数)(xfy )(xgy （8）(1) 若增，增，则增.)(xfy )(xgy )(xgfy （9）(2) 若增，减，则减.)(xfy )(xgy )(xgfy （10） (3) 若减，减，则增.)(xfy )(xgy )(x
3、gfy （11） (4) 若减，增，则减.)(xfy )(xgy )(xgfy （12） 结论：同曾异减（13） 例 1. 求函数的单调区间.222)(xxxf （14） 解题过程：（15） 外层函数：ty2（16） 内层函数：22xxt（17） 内层函数的单调增区间：,21x（18） 内层函数的单调减区间：21,x（19） 由于外层函数为增函数（20） 所以，复合函数的增区间为：,21x（21） 复合函数的减区间为： 21,x（22） 求函数的单调区间.)23(log221xxy（23）解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；uy 21log223xxu（24） 易知是外层函数的单调减区
4、间；), 0( uy 21logxyo21xyo21xyoxyo21xyo21xyo21xyoxyo21（25） 令，解得的取值范围为；0232xxux) 1 , 3( （26） 解题过程： （27） 外层函数：ty2log（28） 内层函数：22xxt （29）022xxt （30） 由图知： （31） 内层函数的单调增区间：, 1 x（32） 内层函数的单调减区间：2,x （33） 由于外层函数为增函数 （34） 所以，复合函数的增区间为：, 1 x（35） 复合函数的减区间为：2,x结合二次函数的图象可知不是内层) 1 , 3(函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个223xxu) 1 , 3(单调子区间和，其中是其单调增区间，是其单调减区 1, 3() 1 , 1 1, 3() 1 , 1间；于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，是原函数的单调减区间， 1, 3(是原函数的单调增区间。) 1 , 1例 2.求函数的单调区间.)2(log)(2 2xxxf 解题过程： 外层函数：ty2log内层函数：22xxt 022xxt 由图知： 内层函数的单调增区间：, 1 x内层函数的单调减区间：2,x 由于外层函数为增函数 所以，复合函数的增区间为：, 1 x复合函数的减区间为：2,x
