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1、二次函数综合性训练题二次函数综合性训练题1、如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 与该二次mxy 函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴上.y（1）求的值及这个二次函数的关系式；m（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作 轴的垂线与x 这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 ，点 P 的横坐标为h ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；xhxx（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一 点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形
2、？若存在，请求出此时 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由.2、如图 2，已知二次函数的图像经过点 A 和 24yaxxcEBACP图 1OxyD点 B （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q 均在该函数图像上（其中m0） ，且这两点关于抛物线 的对称轴对称，求m 的值及点Q 到 x 轴的距离3、如图 3，已知抛物线经过 O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结cxbxay23xyO3911A AB B图 2PBACOxyQ图 3AB，过点 B 作 BC 轴交该抛物线于点 C. x （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两
3、个动点 P、Q 分别从 O、A 两点同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度运 动. 其中，点 P 沿着线段 0A 向 A 点运动，点 Q 沿着折线 ABC 的路线向 C 点运动. 设这两个动点运动的时间为 （秒) (0 4)，PQA 的面积记tt 为 S. 求 S 与 的函数关系式；t 当 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA 的形状；t 是否存在这样的 值，使得PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时t P、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利 的过程. 图 4 的二次函数图象（部分）刻车了该公司
4、年初以来累积利润 S（万元）与时间 （月）之间的关系（即前 个月的利润总和 S 与 之间的关系）.ttt 根据图象提供信息，解答下列问题： （1）公司从第几个月末开始扭亏为盈； （2）累积利润 S 与时间 之间的函数关系式；t （3）求截止到几月末公司累积利润可达 30 万元； （4）求第 8 个月公司所获利是多少元？5、如图 5，已知抛物线的顶点坐标为 E（1,0） ，与 轴的交点坐标cxbxay2y 为（0,1）.-30 -1 -21234S(万元)图 41 2 3 4 5 6 t(月)（1）求该抛物线的函数关系式. （2）A、B 是 轴上两个动点，且 A、B 间的距离为 AB=4，A 在
5、 B 的左边，过 A 作xAD 轴交抛物线于 D，过 B 作 BC 轴交抛物线于 C. 设 A 点的坐标为xx（ ,0） ，四边形 ABCD 的面积为 S.t 求 S 与 之间的函数关系式.t 求四边形 ABCD 的最小面积，此时四边形 ABCD 是什么四边形？ 当四边形 ABCD 面积最小时，在对角线 BD 上是否存在这样的点 P，使得 PAE 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及这时PAE 的周长；若不 存在，说明理由.6)如图 6，抛物线与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，直线223yxx与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。lxyD图 5EBA
6、CO1 1xyEO1 1备用图（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求 线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四 个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐 标；如果不存在，请说明理由。7、如图 7，直线与 轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的434xyxAyC图象经过点、和点.AC0,1B（1）求该二次函数的关系式；图 6（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；MAOCM（3）有两
7、动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折DEOD23线 按的路线运动，点以每秒 个单位长度的速度沿折线OACOACE4 按的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设OCAOCADE 、同时从点出发 秒时，的面积为 S .DEOtODE 请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时DEDEOC 的值；若不存在，请说明理由；t 请求出 S 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；tt设是中函数 S 的最大值，那么 = . 0S0S8、如图 8，抛物线与 轴交于cbxxy2xA(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线上有一
8、个动点 P，当点 P 在该抛物线上CAMyBOx图 7图 8滑动到什么位置时，满足 SPAB=8,并求出此时 P 点的坐标； (3)设(1)中抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上 是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由.9、如图 9、已知抛物线 y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n 为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时， 求出它所对应的函数关系式； (2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧 的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于
9、B，DCx 轴于 C. 当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长； 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值， 并指出此时 A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、如图 10，已知点 A(0,8)，在抛物线上，以 A 为2 21xy 顶点的四边形 ABCD 是平行四边形，且项点 B，C，D 在抛物线 上，ADx 轴，点 D 在第一象限. (1)求 BC 的长； (2)若点 P 是线段 CD 上一动点，当点 P 运动到何位置时，x 经y 经0 经1 经2 经3 经4 经-1 经-1 经-2 经-3 经1 经2 经ABCD图 9ABCDOyx图 10DAP 的面积
10、是 7. (3)连结 AC，E 为 AC 上一动点，当点 E 运动到何位置时， 直线 OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时 E 点的 坐标及直线 OE 的函数关系式.11、一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图 11-1),拱高 6 米, 跨度 20 米,相邻两支柱间的距离均为 5 米. （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 11-2 所示)，其表达式是的形式. 请根据所给的数据求出的值.caxy2ca,（2）求支柱 MN 的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间 DE 是一条宽 2 米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2 米、高 3 米的三辆汽车(汽车间的间隔
11、忽略不计)？请说说你的理由.二次函数综合题训练题型集合二次函数综合题训练题型集合1、 (1) 点 A(3,4)在直线 y=x+m 上，绝密资料参考答案MN10 米20 米6 米5 米图 11-1图 11-2DE OxABCy 4=3+m. （1 分） m=1. （2 分）设所求二次函数的关系式为 y=a(x-1)2. （3 分） 点 A(3,4)在二次函数 y=a(x-1)2的图象上， 4=a(3-1)2, a=1. （4 分） 所求二次函数的关系式为 y=(x-1)2. 即 y=x2-2x+1. （5 分） (2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE . PE=h=yP-yE （6
12、 分）=(x+1)-(x2-2x+1) （7 分）=-x2+3x. （8 分）即 h=-x2+3x (0x3). （9 分） (3) 存在. （10 分） 解法解法 1 1：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC. （11 分） 点 D 在直线 y=x+1 上, 点 D 的坐标为(1,2), -x2+3x=2 . 即 x2-3x+2=0 . （12 分） 解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) （13 分） 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. （14 分） 解法解法 2 2：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 BPCE. （11
13、分） 设直线 CE 的函数关系式为 y=x+b. 直线 CE 经过点 C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直线 CE 的函数关系式为 y=x-1 . 得 x2-3x+2=0. （12 分） 1212xxyxy解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) （13 分） 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. （14 分）2、解：（1）将 x=-1，y=-1；x=3，y=-9 分别代入得cxaxy42解得 二次函数的表达式为 .3439,) 1(4) 1(1 22caca . 6, 1 ca642xxy（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10） 2x（3）将（m
14、，m）代入，得 ，642xxy642mmm解得m0，不合题意，舍去121,6mm 11mEFPBACOxyQ图 13 m=6点 P 与点 Q 关于对称轴对称，点 Q 到 x 轴的距离为 62x3、 （1） 抛物线经过 O(0,0)，A(4,0),B(3,)，cxbxay23 .解得 . （2 分） 03390416cbaba0,334,33cba 所求抛物线的函数关系式为. （3 分）xxy334 332(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2） 过点 B 作 BE轴于 E，则 BE=，AE=1，AB=2. x3由 tanBAE=，得BAE =60. （4 分）3AEBE（）当点 Q 在线段 AB 上运动，即 0 2 时，QA=t，PA=4- .
