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1、数列数列知识点一：数列的概念知识点一：数列的概念1.数列的定义：按一定顺序排列的一列数，如 1，1，2，3，5，an，数列中的每个数称为 该数列的项.2.数列的记法：可简记为an。3.数列的的项和项数。 4.数列的首项。5.通项公式：如果数列的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列 na的通项公式，即)(nfan.6.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项） ，且任何一项na与它的前一项1na（或前几 na项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，12, 11nnaaa，其中12, 11n
2、naaa是数列的递推公式. na na11 na注意：注意：数列可以看作是定义在 N*或其子集1，2，3，n上的函数，与以前常见函数的不同主要在于：(1)定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集；(2)有序。 知识点二：数列的表示知识点二：数列的表示(1)列举法：如-2，-5，-8，(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。(3)解析式法（也叫通项公式法）：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公 式 an=f(n)，nN*。(4)递推：利用数列的第 n 项与它前面若干项的关系及初始值确定。如 an=an-1+an-2(n3)，且 a1=1，a2=1. 注意：注意：并不是每个数
3、列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。 知识点三：数列的分类知识点三：数列的分类（1）按项数：有穷数列和无穷数列 有穷数列有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列无穷数列（2）按单调性：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 对于任何Nn,均有nnaa1.递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 :对于任何Nn,
4、均有nnaa1.摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.例如: ., 1, 1 , 1, 1 , 1L 常数数列：各项相等的数列。:例如:6,6,6,6,.例一.1 设数列an满足 写出这个数列的前五项。2.数列中，已知=（nN*）nana312 nn(1).写出；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项。110,naa329例二根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN)；1a1nana(2) 1, (nN)；1a1na22 nn aa(3) 已知， (nN).21annaa21解：(1) 0, 1, 4,
5、 9, 16, (n1) ;1a2a3a4a5ana2(2) 1, , , ;1a2a323a42 214a525a62 31na12 n(3) ，观察可得 21a2 2222a32 3222an na2例三.根据下面各数列的前几项值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,；2 1；nan(2) ，；分子为正偶数列，分母为,119 , 97 , 75 , 53 , 31L得 2 34 156 358 6310 99) 12)(12(2 nnnan(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； na2) 1(1n(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,
6、 ；将数列变形为 10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；na2) 1(1n(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,.将数列变形为 12, 23, 34, 45, 56,， (1)n(n1) na1n（6）（7），； ababab， 87777777777（9） ， ，；50505050（10）1，； 01 301 501 70将原数列改写为,80,71,60,51,40,31,20,11L分母分别为, 5 , 4 , 3 , 2 , 1L分子分别为, 1 , 0 , 1 , 0 , 1L呈周期性变化，可以用2sinn，或2) 1(cosn，或21)
7、1(1n 表示.nnan2sin（或nnan21cos，或nann21) 1(1 ）规律方法指导规律方法指导 1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 2数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上，根据此特殊性可以判定一个数是否数列中 的项；数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的 数列都有通项公式. 3要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别. 4给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项
8、之间的关系；另一种是项和前 n 项和 Sn之间 关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和 an的转化，一定要围 绕目标进行转化. 知识点四：数列的通项公式与前知识点四：数列的通项公式与前项和公式项和公式任意数列的前 n 项和，于是，等差数列和等比数列等差数列和等比数列 知识点一：等差数列知识点一：等差数列 1 1定义：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差.注意：注意：(1)为等差数列(nN)=d (n2, nN)（ d 为常数）(2) 等差中项：如果bAa,成等差数列，那
9、么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列. 2 2通项公式：通项公式：1、求等差数列 8，5，2的第 20 项 -401 是 不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？2.已知等差数列的通项公式是，求首项和公差。 na21nan1ad3.已知等差数列 中，公差 ， 则首项3.3.性质：性质：（1）列是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列； na（2）通项公式的推广： 可以求 d（3）若，则；（4）特别，若，则（5）公差为 d 的等差数列中，连续 k 项和， 组成公差为 k2d 的等差数列。（6）对于任意的非零实数 b，数列是
10、等差数列，则是等差数列奎屯王新敞新疆nbana（7）已知是等差数列，则也是等差数列奎屯王新敞新疆nbnnba 1、在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=_2.若数列an为等差数列，a15=10, a45=90, 求 a60；3.已知等差数列 中， ，求 的值.4.已知等差数列 中， ， 求 .5.已知等差数列 中， 求 ； ； 6.在等差数列an中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=( )7.在等差数列中，则的值为（ ） na31140aa45678910aaaaaaa8.在等差数列中，求的值。 na14812152aaaaa313aa9.在等差数列中，（
11、1）若， 求； naaa 5ba1015a10.在等差数列中, 已知450, 求及前 9 项和.na3a4a5a6a7a2a8a9S11.11. 在等差数列na中，若1a+6a=9, 4a=7, 求3a , 9a12.、已知等差数列的首项为，公差是整数，从第项开始为负值，则公差为（ ） na23713.设是公差为正数的等差数列，若，则 A na12315aaa12380a a a 111213aaa120B C D105907514.等差数列 从第_项起以后每项均为负数.练习1.已知等差数列 中，首项 ，公差 ，则397 是该数列的第_项.2.已知等差数列 中，首项 ， 则公差3.已知数列 的
12、通项公式为 ，问数列从第几项开始小于 0？4.4.等差数列 8，5，2的第 20 项 5. 100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.6. 在等差数列中，求 na278136aaaa69aa7.在等差数列中, 若 求 na65a158a14a8.在等差数列 na中，已知105a，3112a，求首项1a与公差d9. 在等差数列 na中, 若 65a 158a 求14a10.已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 11、在等差数列a中，已知a=2,a +a =13，则a+a+a等于n123456A.40 B.42 C.43 D.45 12.在等差
13、数列an中（） 已知 a2=5,a6=17，求 an（） 已知 a6=5,a3+a8=5，求 a5（） 已知 a1+a2+a3+a4=26,a2a3=40，求 a5（） 已知等差数列an满足 a3a7=12,a4+a6=4,求数列an的通项公式13.一个等差数列的第五项 a5=10，且 a1+a2+a3=3，则有 （ ）（A）a1=-2,d=3 （B）a1= 2,d=-3 （C）a1= -3,d=2 （D）a1=3, d=-214.设等差数列 na的前n项和为nS，若972S ,则249aaa= 。4.4. 等差、前等差、前 n n 项和公式项和公式设等差数列的前 n 项和公式和为，公差为，则
14、 nanSd*nN（公式一）1(1) 2nn nSnad（公式二）1() 2n naaSn1.如果等差数列 a =2,d=-2,求 s182. 如果等差数列 a =2,a=12,求 s110103. 一等差数列共有 9 项，第 1 项等于 1，各项之和等于 369，求公差d4.已知a6+a9+a12+a15=34，求前 20 项之和；5. 如果等差数列的前 4 项和是 2，前 9 项和是，求其前 n 项和公式。 na66、在等差数列中，d=2,an=11,Sn=35,则n为（ ） na7一个凸 n 边形内角的度数成等差数列，公差为 5，且最大角为 160，则 n 的值为（ ） （A）9 （B）12 （C）16 （D）9 或 16 8已知等差数列an的公差为 d,d0,a1d,若这个数列的前 20 项的和为 S20=10M，则 M 等于（A）a4+a16 （B）a20+d （C）2a10+d （D）a2+2a10（ ）9.数列an是等差数列，其中 Sn=48，S2n=60，求 S3n。在等差数列中， S9=35,则a为 na5练习 1.已知数列an为等差数列，前 30 项的和为 50，前
