中考复习之专题八 三角形

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1、1第二讲第二讲 中考复习之专题八中考复习之专题八 三角形、三角形三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的相似及全等、解直角三角形一一. 知识要点：知识要点：知识点知识点 1 三角形的边、角关系三角形的边、角关系 三角形任何两边之和大于第三边； 三角形任何两边之差小于第三边； 三角形三个内角的和等于 180； 三角形三个外角的和等于 360； 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的主要线段和外心、内心 三角形的角平分线、中线、高； 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，

2、三角形的外心到各 顶点的距离相等； 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边 的距离相等； 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且 等于第三边的一半。 知识点知识点 3 等腰三角形等腰三角形 等腰三角形的识别： 有两边相等的三角形是等腰三角形； 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） ； 三边相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： 等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形是轴对称图形，底边的中

3、垂线是它的对称轴； 等边三角形的三个内角都等于 60。 知识点知识点 4 直角三角形直角三角形 直角三角形的识别： 有一个角等于 90的三角形是直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三 角形是直角三角形。 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2知识点知识点 5 全等三角形全等三角形 定义、判定、性质 知识点知识点 6 相似三角形相似三角形三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法定义相似三

4、角形, 相似比平方面积比等于相似比周长比对应高的比对应边的比相似三角形的性质知识点知识点 7 锐角三角函数与解直角三角形锐角三角函数与解直角三角形方位角坡度视角常用术语直角三角形转化问题二、例题精讲二、例题精讲例例 1. （1）已知：等腰三角形的一边长为 12，另一边长为 5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为 80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。说明：说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例例 2. 已知：如图，ABC 和ECD 都是等腰三角形，E D C B A 3ACBD

5、CE90，D 为 AB 边上的一点，求证：（1）ACEBCD，（2）AD AE DE 。222分析：分析：要证ACEBCD，已具备 ACBC，CECD 两个条件，还需 AEBD 或ACEBCD，而ACEBCD 显然能证;要证 AD AE DE ，需条件222DAE90，因为BAC45，所以只需证CAEB45，由ACEBCD 能得证。例例 3. 已知：点 P 是等边ABC 内的一点，BPC150，PB2，PC3，求 PA 的长。分析：分析：将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60至BCD，即可证得BPD 为等边三角形，PCD 为直角三角形。【变式】若已知点 P 是等边ABC 内的一点，PA，PB

6、2，PC3。能求出13BPC 的度数吗？请试一试。例例 4. 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ60，且 BQBP，连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由点评：点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例例 5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即 BCEF） ，左边滑梯的高度 AC 与4右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则ABCDFE_分析：分析：ABC 与DFE 分布在两个直角三角形

7、中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解点评：点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题例例 6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时” 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示） ，在距离路边 25 米处有“车速检测仪 O” ，测得该车从北偏西 60的 A 点行驶到北偏西30的 B 点，所用时间为 1.5 秒（1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速解析：解析：（1）要求该车从 A 点到 B 点的速度只需求出 AB 的距离，点评：此

8、题应用了直角三角形中 30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用例例 7. 如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了 RtABC请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等简析：简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“若两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三5角形，答案如下图例例 8. 如图所

9、示，在ABC 中，ABAC1，点 D、E 在直线 BC 上运动，设BDx，CEy（1）如果BAC30，DAE105，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果BAC 的度数为 ，DAE 的度数为 ，当 、 满足怎样的关系式时， （1）中 y 与 x之间的函数关系式还成立，试说明理由点评：点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例例 9. 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，E，F 分别是 AB，BC的中点，EF 与 BD 相交于点 M（1）求证：EDMFBM；（2）若 DB9，求 BM例例 10. 已知ABC 中，ACB90，CDAB 于

10、D，ADBD23 且 CD6。求（1）AB；（2）AC。6分析：分析：设 AD2k，BD3k。根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD。通过相似三角形对应边成比例求出其中 k 的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出 k 的大小。三、课后练习三、课后练习1. 如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC 是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB 和CO

11、D 中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求证：ACBD，APB60。（2）如图，在AOB 和COD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD，则 AC 与 BD 间的等量关系式为_；APB 的大小为_。（3）如图，在AOB 和COD 中，OAkOB，OCkOD（k1） ，AOBCOD，则 AC 与 BD 间的等量关系式为_；APB 的大小为_。7B A C D O P A C B O P D A C B P O D 3. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m，面积为 1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1） ，乙设计的方案如图（2） 。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。 （加工损耗忽略，计算结果可保留分数）C A (1) B D E F (2) C B A D E G F H P