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1、 2010 届学士学位论文空间直线运动轨迹探讨空间直线运动轨迹探讨院别、专业 数学科学学院 数学与应用数学(师范类) 研 究 方 向 解析几何 学 生 姓 名 学 号 指导教师姓名 指导教师职称 教 授 2010 年 4 月 17 日空间直线运动轨迹探讨空间直线运动轨迹探讨摘摘 要要本文研究了由直线生成的曲面首先给出了具有较为突出的几何特征的直线运动轨迹，如平面、柱面、锥面，然后着重探究了单叶双曲面和双曲抛物面也是直线运动的轨迹，通过举例，对不同的情形运用不同的建立直线运动轨迹方程的方法得到轨迹方程，如建立坐标系、消去参数、利用平面束等方法，根据轨迹方程判断直线运动的轨迹，使人们对单叶双曲面和
2、双曲抛物面是由直线生成的形象不再半信半疑关键词：关键词： 空间，直线运动，曲面，轨迹方程Explore on the Trajectory of Space LinearAbstractIn this paper, we have studied the surface generated by straight line. Firstly, we introduce the linear motion trajectory with the more prominent geometric features, such as plane, cylinder, cone, then focus
3、 on exploring hyperboloid and hyperbolic paraboloid is linear motion trajectory, by way of example, different situations using different established linear motion trajectory equation methods to get the trajectory equation, such as establishment of coordinate system, elimination the parameters, using
4、 plane beam and so on. Then according to the trajectory equation, determine the trajectory of linear motion, make people on the hyperboloid and hyperbolic paraboloid generated by the linear image is no longer doubtful.Key words： space，linear motion，surface，trajectory equation目目 录录引言 .1一、具有较为突出几何特征的直
5、线运动的轨迹 .1（一）柱面 .1（二）锥面 .2二、直线运动轨迹进一步探讨 .3（一）单叶双曲面 .3（二）双曲抛物面 .6结论 .9参考文献 .10致谢 .111引言引言同一条直线在运动的过程中,所遵循的规律不同,轨迹就呈不同的曲面.本文首先从具有较为突出几何特征的直线运动轨迹入手,再对其他的情形,运用建立坐标系、消去参数、利用平面束等方法建立直线运动的轨迹方程,根据方程判断直线运动的轨迹.一、具有较为突出几何特征的直线运动的轨迹一、具有较为突出几何特征的直线运动的轨迹（一）柱面（一）柱面定义定义 在空间,由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生11成的曲面叫做柱面.如果一条直线
6、在运动过程中始终与空间的一条曲线相交且平行于某一固定的非零矢量,那么它的轨迹是柱面.显然,柱面可视为空间中一条直线当它沿着另一条曲线作平行于固定方向运动时形成的轨迹. 2例 1.将直线绕 z 轴旋转,求这个旋转曲面的轨迹.1 001xyz解解 设是母线上的任意点因为 z 轴通过原点,所以过的纬圆方1111,Mx y z1M程是, (1)1 222222 1110zzxyzxyz 由于在母线上,所以又有1111,Mx y z, (2)1111 001xyz即.110,1xy由(1),(2)两式消去得所求旋转曲面的方程为111,x y z2,221xy所以这个旋转曲面的轨迹是圆柱面.（二）锥面（二
7、）锥面定义定义 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥12面.在空间直角坐标系下,由方程 ,2222220xyz abc所表示的曲面叫二次锥面,其中 a、b、c 为任意的正常数.如果这条直线在运动过程中始终与空间的一条曲线相交且过一个定点,那么它的轨迹是锥面.显然,圆锥面可视为空间中一条直线通过一个定点,并沿着一条曲线移动时的轨迹. 2例 2.将直线绕 z 轴旋转,求这个旋转曲面的轨迹.201xyz解解 设是母线上的任意点,因为 z 轴通过原点,所以过的纬圆1111,Mx y z1M方程是, (1) 1 222222 1110zzxyzxyz 由于在母线上,所以又有1111
8、,Mx y z, (2)111 201xyz即,.112xz10y 由(1),(2)两式消去得所求旋转曲面的方程为111,x y z,22240xyz所以这个旋转曲面的轨迹是圆锥面.3二、直线运动轨迹的进一步探讨二、直线运动轨迹的进一步探讨（一）单叶双曲面（一）单叶双曲面定义定义 在空间直角坐标系下,由方程 33,2222221xyz abc所表示的曲面叫单叶双曲面,其中 a、b、c 为任意的正常数.通过对单叶双曲面的性质的研究得知,它是不可展曲面,并且可画出它的图形（图略）,令人兴奋的是它既可由椭圆或双曲线构成,又可由动直线生成.例 3.设直线 与为互不垂直的两条异面直线,C 是 与的公垂线
9、的中点,lmlmA、B 两点分别在直线 ,上滑动,且,求直线 A B 的轨迹.lm90ACB分析分析 适当建立坐标系推导动直线的轨迹方程 建立动直线的轨迹方程,若条件中不具体给出某些元素(如平面、直线等)的方程,则需先建立坐标系,得到有关元素的方程,再去推导所求轨迹方程.而且建立的坐标系是否适当,将直接影响到运算过程的繁简. 4解解 以两直线 与的公垂线为 z 轴,公垂线的中点 C 为原点, 与的角分线lmlm为 x 轴建立坐标系. 5令, 和与 z 轴分别交于,2l mlm0,0,0,0,MaNa和则 与的方程分别为：lm, ,11cos :sinxt lyt za 22cos :sinxt
10、 myt za A、B 点的坐标分别为： 、11cos , sin,A tta,22cos ,sin,B tta则矢量, ,11cos , sin,CAttauu u r22cos ,sin,CBttauu u r, 90ACBoQ4,222 1 21 2cossin0t tt ta, 290 cos20oQ又，, (1)21 2cos2at t另一方面,直线, 121121coscos :sinsin2xtu tt ABytu ttzaau , (2)2221 22222cossinaxyt taz由(1)、(2)得：,22222222cos2cossinaaxy az整理得：,222222
11、 22 21cossin cos2cosxyz aaa 这就是直线 AB 的轨迹方程,所以直线 AB 的轨迹是单叶双曲面.例 4.求与三条直线都共面的直线所构成的11212 345xxxyz yzyz 、曲面. 分析分析 利用动直线上任意点的坐标所满足的关系求出即为动直线的轨迹方程解解 设动直线的方向数为 a ：b ：c,动直线上的任意一点,由题设, ,M x y z得： 11 0110,xyzabc 210110,xyzabc 3212 3450,xyzabc 所以5, 10104525313420cbxa yzcbxayzcbxacybcz 由方程消去参数 a,b,c 并化简整理得,2221xyz显然,所求动直线的轨迹是单叶双曲面.例 5. 求下面直线族所成的曲面:（1）.244 244xyz xyz 分析分析 用消参法建立直线的轨迹方程 解解 由方程组消去参数,得244 244xyz xyz ,22216164xzy即 ,22 21164xyz显然,所成的曲面是单叶双曲面.例 6. 将直线绕 z 轴旋转,求这个旋转曲面的轨迹.(其中01xyz )0,0解解 设是母线上的任意点,因为 z 轴通过原点,所以过的纬圆1111,Mx y z1M方程是, (1)1 222222 1110zzxyzxyz
