量子力学习题课辅导材料

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1、第一章 第一章 绪绪 论论 一、重点一、重点 Planck 的能量子理论、Einstein 的光量子理论、Bohr-Sommerfeld 量子化条件、De Broglie 波的含义和 De Broglie 波的波长公式、 理解波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。 二、难点二、难点 广义量子化条件的应用。 三、内容提要三、内容提要 量子力学（Quantum Mechanics） ：是研究微观实物粒子运动规律的理论。 量子力学的基础：大量实验事实、旧量子论（即普朗克、玻尔量子论） 。 量子力学的作用：有助于人们对微观结构的认识，并具有跨学科的性质（如化学、材料科学、电子学、分子生物学等） 。

2、 1、黑体辐射（Black Body Radiation）和普朗克假设： 黑体：如果一个物体能够全部吸收而不反射投射于其上的辐射，就称它为绝对黑体，简称为黑体。 Planck 的“能量子”假设：黑体以h为单位交换能量，即能量具有不连续性，称能量单位h为能量子，其中sJ1062559. 6h34=为Planck常数。 2、光的波动性和粒子性的关系式为：=hhE，knhpvhvr=。 3、玻尔的原子结构理论：定态假设；跃迁假设；量子化条件。 广义的量子化条件： nhpdq =,.)2 , 1n(= (BohrSommerfeld量子化条件) ， 其中q为电子的广义坐标，p为对应的广义动量，n为量子

3、数，且取正整数，回路积分沿轨道积分一圈。注：代表对周期运动积分一个周期 4、德布罗意波及其波长 自由粒子的能量E和动量Pv与平面波的频率和波长之间的关系像光子和光波的关系一样，即 =hhE ，knhpvhvr= ， 此即德布罗意波公式（也称德布罗意关系） 。 )Etrp(i )trk( iAeae=vv hvv 为DeBroglie波，即描写自由粒子的平面波。 设自由粒子的动能为E，其DeBroglie波波长为：Eh ph2=。如果电子被V伏的电势差加速，则E=eV电子伏特，其中e为电子电荷的大小，于是将eh,的数值代入得V25.12eV2h= （只用于电子） ， 式中Planck常数h的出现

4、表明DeBroglie波长具有量子性质。 四、典型例题四、典型例题 例1、质量为100克的一块石头以每秒100厘米的速度飞行，其DeBroglie波长是 mmvh phEh33 2334 106 . 61010010100106 . 62 =023106 . 6A=， 由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波波长是很小的，很难显示波动性。 例2、 若用150伏的电压加速电子， 其DeBroglie波长0 115025.12A= 。 电子的DeBroglie波长在数量上相当（小于）晶体中的原子间距，比宏观线度要短的多，这说明了为什么电子的波动性长期没有被发现的原因。 经典物理未考虑到实物粒子的波动

5、性，因而不能解释微观领域内粒子的行为，为了建立描写微观领域粒子行为的物理学， 就需要在物理学的基本概念和规律方面来一个根本的改变。 例3、用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为.,cba 解：三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动，每一分运动是自由运动。设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时，与此壁正交方向的分动量变号（如xxpp） ，其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与位移同时变号，量子化条件： ahnphnpahndqpx xxxaxxxx222 0=， （1） bhnphnpbdyphndqpy yyybyyyy222 0=

6、， （2） chnphnpchndqpz zzzczzzz222 0=， （3） (nx，ny，LL3 , 2 , 1=nz) xp，yp，zp都是常数，总动量平方222 zyxpppp+=，能量是： + + =+=222 222222221)(21 2chn bhnahn mpppmmpEzyx zyx + + =22228cn bnan mhzyx， （nx，ny，LL3 , 2 , 1=nz） 。 例4、平面转子的转动惯量为，求能量允许值。 解释题意：平面转子是个转动体，它的位置由一坐标（例如转角）决定，它的运动是一种刚体的平面平行运动，例如双原子分子的旋转。 解：按刚体力学,，转子的角

7、动量I，但 =是角速度，能量是2 21=E。利用量子化条件，将p理解成为角动量，q理解成转角，一个周期内的运动理解成旋转一周，则有： =nhdpdq220=hnnh 2， (3 , 2 , 1=n.) 上式说明是量子化的，将其代入能量公式，得能量量子化公式： =2)(22122 22hhnnE 。 例5、有一带电荷e、质量m的粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是B，求粒子动能的允许值。 解：带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是r，线速度是v，用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是： rmv cBev2 = ， （1） 又利用量子化条件，令=p电荷角动量，=q转角， nhvrmmrv

8、dpdq=220， （2） 即 hnmrv= ， （3） 由（1）和（2）式求得电荷动能：mcnBemvEk2212h= 。 第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 一、重点一、重点 1、微粒的状态由波函数完全描写（正确理解的意义和性质） ； 2、状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用） ； 3、几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解） 。 二、难点二、难点 波函数的意义和性质的理解；薛定谔方程的理解；定态薛定谔方程的求解。 三、内容提要三、内容提要 1、量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数来描写微观粒子的状态。 设波函数) t , z, y, x

9、() t , r (=v描写粒子的状态，则在空间一点（x,y,z）和时刻 t，波的强度为=2，其中 为 的共轭复数；t 时刻在dxxx+，dyyy+，dzzz+的体积元dxdydzd =内找到粒子的几率为=d) t , z, y, x(C) t , z, y, x(dW2， 其中C为比例常数；几率密度2) t , z, y, x(Cd) t , z, y, x(dW) t , z, y, x(=为t时刻（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的几率；=1),(2dzyx为波函数的归一化条件（Normalizing Condition） 。 2、 态迭加原理： 若LLn21,是体系的可能状态， 它

10、们的线性迭加=nnnc（nc一般是复常数）也是体系的一个可能状态。 3、傅立叶变换： () =zyxrpi dpdpdpetpCtrvv hv hv),(21),(2/3， ()=dxdydzetrtpCrpivv hv hv),(21),(2/3。 4、波函数随时间变化的规律由dingeroSchr & &方程给出： +=),(222 trUtivhh。 据此，可以得到几率守恒律的微分形式： 0=+Jtv， 其中：),(),(),(*trtrtrvvv=（假设归一化） ，)(2*hviJ。 5、波函数的标准化条件：单值性、有限性、连续性。 6、定态薛定谔方程： 当) r (U) t , r

11、(Uvv=时，dingeroSch& &方程的解可表示为： tEi e ) r () t , r (hvv= ， 其中：tEi e ) r () t , r (hvv=或) r (v均称为定态波函数。 ) r (v所满足的方程： ) r (E) r () r (U) r (222vvvvh=+为定态薛定谔方程。 注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。 定态的特征： 体系能量取确定值； 和Jv均与时间无关，不随时间改变。 【注意：该点可以作为判断一个波函数所描写的态是否为定态的判据。 】 7、一维无限深势阱： 若： ， 当1)(20 EUah时，透射系数为： )(22exp(00aEUDD=h

12、； 任意形状的势垒)(xU，透射系数为： )(22exp0dxExUDDba=h。 四、典型例题四、典型例题 例1、证明动量算符的属于本征值为 p的本征函数在动量表象中的表示是) (pp 。 证明：设()tx,所描写的状态是具有动量p的自由粒子的状态，即 ()tx,( )tEippexh= ， 又有 ()()( )dxxtxtpcp=, ， 则： ()( )( )dxxextpcptEipp=,h()tEipepph= 。 所以在动量表象中，粒子具有确定动量p的波函数是以动量p为变量的函数。 例2、 作一维运动的粒子被束缚在ax0x的区域，方程为： ( )( )( )xExxxdxd=+22

13、22221 2h， 解是 ( )( )2 21 =eHAxnnn， 22xh= ， 其中 !21nAnnh= ， nH是关于的n次多项式厄米多项式。 必须注意的是，在0=0E), 3 , 2 , 1n(n2eE224 s nLh， 能级nE 的简并度=+=102) 12()(n nnfll。 8、径向几率密度：22rRdrdWnn nll l=，表示半径为r的单位厚度的球壳内找到电子的几率；角度几率密度2),(),(mm mYddWll l=)(ml=。 径向分布标志着“电子云”的尺度，即发现电子的几率随距离的变化；角度分布标志着“电子云”的形状，即发现电子的几率随空间方位的变化。 9、平均值公式： 若F的本征函数系)(),(xxn构成正交归一完全函数系，且： )(xn nnC =dC+ ， 则力学量 F 在)(x态中的平均值为： 2 n nnCF=dC2+ ，()(x已归一化) ， 3或 dCCdCC Fnnnnn2222+ = ，()(x未归一化) 。 10、定义：两个算符A、B的对易关系为ABBAB,A。 11、基本对易关系： =0,0,jijiijjippxxipxh， )3 , 2 , 1,(=ji 。 (注：xx =1；yx =2；zx=3；xpp1=；ypp2=；zpp3=) 即动量分量和它