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1、吉林大学吉林大学2006 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷数学分析卷一、 （共 30 分）判断题1、若函数在上可积，则在也可积； f x, a bRiemann 2f x, a bRiemann2、若级数收敛，则级数也收敛；1n na 1n na3、任何单调数列必有极限；4、数列的上、下极限都存在； 1n5、区间上的连续函数必能达到最小值；, a b6、在整个实轴上是一致连续的；sin x7、若函数沿着任何过原点的直线连续，则在连续；,f x y,f x y0,08、若函数在点取极小值，则； f x0x 00fx9、若，则在点取极大值； 00fx 00
2、fx f x0x10、向量场是无源场。222222,xyyzzx二、 （共 20 分）填空题1、设，则 grad；sinuxyxyz u 2、设，则 div；,Fxy yz zx F 3、设,则 rot；,Fxyz yzx zxy F 4、设 s 表示单位球面，则第一型曲面积分；2221xyz 2sx ds 5、数列的下极限为； 2211nn n 三、 （共 20 分）计算下列极限1、；12006 11limnnnkk 2、；301lim121 3 xxxx3、；111lim200620071nnnnnL4、。120lim1nnxdxxx四、 （共 20 分）判断下列级数的敛散性1、；1200
3、6 20072005nnn n2、，其中1n nu2 1 20,1,2, 1n n nununun L五、 （10 分）设函数在两次连续可微，满足且。 f x0,1 010ff 100f x dx 证明：存在使得。0,1 0f六、 （10 分）计算第二型曲线积分222234 3434Cxydxdyxyxy其中为单位圆周，方向为顺时针方向。C221xy七、（10 分）证明，对任意，都有0x 3 sin6xxx八、 （10 分）设均为常数，且对任意都有, , a b xsinxxaxb证明：0ab九、 （10 分）证明，不存在上的正的可微函数，满足0, f x 0fxf x十、 （10 分）试构造
4、区间上的函数序列，具有如下性质：0,1 nfx（1）对每个 n，是上的正的连续函数； nfx0,1（2）对每个固定的，；0,1x lim0nnfx （3） 10limnnfx dx 高等代数与空间解析几何卷高等代数与空间解析几何卷一、 （共 32 分）填空1、平面上的四个点在同一个圆上的充要条件为。 （要求用,1,2,3,4iix yi _含有的等式表示） ；,iix y2、设方阵只与自己相似，则必为；AA_3、设为可逆矩阵，则直线与直线111222333abc Aabc abc 121212xyz aabbcc的位置关系为。 （要求填写相交、平行、重合、异面四232323xyz aabbcc
5、_者之一） ；4、设为四阶正方矩阵，其中均为四维列向量；1234,A 1234, ，且线性无关。求线性方程组的通12421233234, AX解；_二、 （16 分）求二次曲面的主方向；22224246120xyzxzxyz三、 （17 分）设为 n 维欧式空间，与为中向量，V12,nu uuL12,nv vvLV线性无关，且对任意的均有。证明，必有上12,nu uuL,1,2,i j i jnLijijuuvvV的正交变换，使得 1,2,iiuv inL四、 （17 分）设为数域上的 n 维向量空间，均为上的线性变换，且满足V, V。证明：0五、 （17 分）设为实对称矩阵，证明，必有实对称
6、矩阵，使得为正定矩阵。ABAB六、 （17 分）设为数域上的 2n 维向量空间，为上的线性变换，且VV。证明，存在的一个适当基底及形矩阵，使得在该基底下 KerVVJordanA恰好对应矩阵。A七、 （17 分）设为实数域上的全体 n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，为V上的线性变换，且对任意的，。VA TAA1、求的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明恰为的所有特征子空间的直接和。V八、 （17 分）设为 n 阶实方阵，若对任意的均有 ijn nAa1,2,i inL，则称为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。1,niiij ij iaaA吉林大学吉林大学2
7、007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷数学分析卷一、 （共 30 分）判断题1、函数在任何有限区间上都是可积的；RiemannRiemann2、若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛； 0f x dx 0f x dx3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数；6、在整个实轴上是一致连续的；x7、若函数在处的两个偏导数，则在连续；,f x y0,0,f x y0,08、在内有无穷多个极大极小值点；1sinx0,19、若，则在点必取极大值或极小值； 00fx f x0x10、向量场是无源场。222222,
8、yzzxxy二、 （共 20 分）填空题1、设，则 grad；222arctanuxyz u 2、设，则 div；sin ,cos ,Fxy xyz F 3、设,则 rot；222,Fxyz yzx zxy F 4、设 s 表示单位球面，则第一型曲面积分；2221xyz 3sxyzds5、数列的上、下极限的和为； 11nn n 三、 （共 20 分）计算下列极限1、；222222lim12nnnn nnnnL六、 （10 分）计算第二型曲面积分222222222222xyzdydzdzdxdxdyxyzxyzxyz其中为球面的内侧。2221xyz吉林大学吉林大学2008 年攻读硕士学位研究生入
9、学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷数学分析卷一、二、3、2110yxdxe dy4、，为椭圆，周长为 a。22234 Lxyxy dsL22 143xy三、1、设于上二次连续、可微，存在不低于整数的常数，使得( )f x, x0r 。记，证明：存在使( )fxr( (0),)f,( )f2、和皆为区间上的连续函数，在上二次连续，( )f x( )g x, a b( , )K x y , , a ba b，其中为常数。证明1( )( , )( )( )bnnafxK x y fy dyg x（1） 、时，于一致收敛。sup( , )1baK x y dy( )nfx( , )a
10、 b（2） 、满足( )f x( )( , )( )baf xK x y dyg x3、在上具有连续的一阶导数。( )f x, 0( )(0) (0)( )()xxff t fxt dt求证： 0( )( ) ()xxf t f xt dt4、11,0 ( ),1,2,.10,1nnxxnfxn xn 证明：在上不一致收敛，且( )nfx(0,1)11lim( )lim( )nnoonnfx dxfx dx 5、在上具有连续的一阶导数，又，证明：( )f x, 0( )( ) ()xxf t f xt dt0( )( ) (0)( )()xxf x ff t fxt dt高等代数与空间解析几何
11、卷高等代数与空间解析几何卷一、1、求点到平面的距离。(1,1,0)P1xyz2、求曲面在点处的切平面。2224xyyz(1,1,1)P3、写出内积、外积和混合积的定义。4、设为在有理数域上大于 1 的多项式，1122( )222nnnnnf xxxxxaL给出的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。a5、在复数域上，当取何值时，多项式有重因式。g3( )3f xxxg6、，求正交矩阵 P 及对角矩阵 D，使得011101110A TP APD7、 8、是实数域上三元列向量空间，为 n 阶正定矩阵。定义V20 21011a Aa，则当满足什么条件时，为欧式空间。Tuvu Av, u
12、vVaV9、当为何值时，5 个平面经过一条直线。, a b230,04kkkka xyzbk10、求上的线性变换，使V, *1 ,1二、1、 设为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数，使得都是( ), ( )f x g xn( ) ( )f n g n整数，证明：是整数多项式。( ) ( )f x g x2、在曲线的充要条件是，其中是向量P2221axbycz222 21abcdd的长度，是向量的方向余弦。OPuuu r, OPuuu r3、是数域上的向量空间，是上的线性变换，记：，当且VV*aa仅当是的特征子空间。V 4、假设是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使得。AB2AB5、设是数域上的阶矩阵构成的向量空间，是的极小多项VnAV( )f xA式，令，证明：( )| ( )( )Uh Ah xx（1）是的子空间，而且UVdimdim( )Uf x（2）不可约，则的每个非零元素都是可逆矩阵。( )f xU
