函数问题的题型与方法

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1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育 网高三数学第二轮复习教案高三数学第二轮复习教案第第 1 讲讲 函数问题的题型与方法函数问题的题型与方法（3 课时）课时）五、函数综合应用五、函数综合应用函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用：1在应用中深化基础知识。在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合 的发展过程。这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的。因此要在应用深化基础知识 的同时，使基础知识向深度和广度发展。2以数学知识为载体突出数学思想方法。数学思想方法是观念性的东西，是解决数学 问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识。函数内容最重要的数学思想是函数

2、思想和 数形结合的思想。此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法。解较综合的 数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化。因此本课题也十分重视转化的数学思想。3重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养。函数是数学复 习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识。但从复习开始就让学生树立综合运用知识 解决问题的意识是十分重要的。推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强 对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的。本课题在例题安排上 作了这方面的考虑。具体要求是：1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各 类函数的特征

3、，提高运用基础知识解决问题的能力。2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养。3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识 解决问题的能力。4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题。本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知 识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的 理解与运用。难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养 与提高。函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题。函数

4、描述了自http:/ 快乐学习，尽在中小学教育 网然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变 化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。因此，运动变化、相互联系、 相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学 思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的 关键。1准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分。第 一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点

5、和集合映射的观点理解函数 及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常 见函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的图象和 性质。第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展。例例 9已知函数 f（x） ，xF，那么集合（x，y）|y=f（x） ，xF（x，y）|x=1中 所含元素的个数是（ ）A0 B1 C0 或 1 D1 或 2分析：分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观 点看，问题是求函数 y=f（x） ，xF 的图象与直线 x=1 的交点个数（这是一次数到形的转 化） ，不少学生常误

6、认为交点是 1 个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的， 这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的。这里给出了函数 y=f（x）的定义域是 F，但未明确给出 1 与 F 的关系，当 1F 时有 1 个交点，当 1F 时 没有交点，所以选 C。2掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的 定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等， 并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用 数

7、学知识能力的培养和发展是十分重要的。函数、方程、不等式是相互联系的。对于函数 f（x）与 g（x） ，令 f（x）=g（x） ， f（x）g（x）或 f（x）g（x）则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式 的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具。例例 10方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）A （0，1） B （1，2）C （2，3） D （3，+）分析：分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与y=x+3 的图象（如图 2） 。它们的交点横坐标，显然在区间0xhttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育 网（1，3）内，由此可排除

8、 A，D。至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与 2 的大小。当 x=2 时，lgx=lg2，3x=1。由于0xlg21，因此2，从而判定（2，3） ，故本题应选 C。0x0x说明：说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通0x过比较其大小进行判断。例例 11 （1）一次函数 f（x）=kx+h（k0） ，若 mn 有 f（m）0，f（n）0，则对 于任意 x（m，n）都有 f（x）0，试证明之；（2）试用上面结论证明下面的命题：

9、若 a，b，cR 且|a|1，|b|1，|c|1，则 ab+bc+ca1。分析：分析：问题（1）实质上是要证明，一次函数 f（x）=kx+h（k0） ， x（m， n） 。若 区间两个端点的函数值均为正，则对于任意 x（m，n）都有 f（x）0。之所以具有上述 性质是由于一次函数是单调的。因此本问题的证明要从函数单调性入手。（1）证明：当 k0 时，函数 f（x）=kx+h 在 xR 上是增函数，mxn，f（x）f（m）0；当 k0 时，函数 f（x）=kx+h 在 xR 上是减函数，mxn，f（x）f（n）0。所以对于任意 x（m，n）都有 f（x）0 成立。（2）将 ab+bc+ca+1

10、写成（b+c）a+bc+1，构造函数 f（x）=（b+c）x+bc+1。则f（a）=（b+c）a+bc+1。当 b+c=0 时，即 b=c， f（a）=bc+1=c2+1。因为|c|1，所以 f（a）=c2+10。当 b+c0 时，f（x）=（b+c）x+bc+1 为 x 的一次函数。因为|b|1，|c|1，f（1）=b+c+bc+1=（1+b） （1+c）0， f（1）=bc+bc+1=（1b） （1c） 0。由问题（1）对于|a|1 的一切值 f（a）0，即（b+c）a+bc+1=ab+ac+bc+10。说明：说明：问题（2）的关键在于“转化” 、 “构造” 。把证明 ab+bc+ca1

11、转化为证明 ab+bc+ca+10，由于式子 ab+bc+ca+1 中，a，b，c 是对称的，构造函数 f（x）=（b+c） x+bc+1，则 f（a）=（b+c）a+bc+1，问题转化为在|a|1，|b|1，|c|1 的条件下证明 f（a）0。 （也可构造 f（x）=（a+c）x+ac+1，证明 f（b）0） 。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育 网例例 12定义在 R 上的单调函数 f（x）满足 f（3）=log 3 且对任意 x，yR 都有2f（x+y）=f（x）+f（y） 。（1）求证 f（x）为奇函数；（2）若 f（k3 ）+f（3 9 2）0 对任意 xR 恒成立，求实数 k

12、的取值范围。xxx分析：分析：欲证 f（x）为奇函数即要证对任意 x 都有 f（x）=f（x）成立。在式子 f（x+y）=f（x）+f（y）中，令 y=x 可得 f（0）=f（x）+f（x）于是又提出新的问题， 求 f（0）的值。令 x=y=0 可得 f（0）=f（0）+f（0）即 f（0）=0，f（x）是奇函数得到证 明。（1）证明：证明：f（x+y）=f（x）+f（y） （x，yR） ， 令 x=y=0，代入式，得 f（0+0）=f（0）+f（0） ，即 f（0）=0。令 y=x，代入式，得 f（xx）=f（x）+f（x） ，又 f（0）=0，则有 0=f（x）+f（x） 。即 f（x）=

13、f（x）对任意 xR 成立，所以 f（x）是奇函数。（2）解解：f（3）=log 30，即 f（3）f（0） ，又 f（x）在 R 上是单调函数，所以2f（x）在 R 上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数。f（k3 ）f（3 9 2）=f（3 +9 +2） ， k3 3 +9 +2，xxxxxxxx3（1+k）3 +20 对任意 xR 成立。2xx令 t=3 0，问题等价于 t （1+k）t+20 对任意 t0 恒成立。x2R 恒成立。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育 网说明：说明：问题（2）的上述解法是根据函数的性质。f（x）是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f（

14、t）=t （1+k）t+2 对于任意 t0 恒成立。对二次函数2f（t）进行研究求解。本题还有更简捷的解法：分离系数由 k3 3 +9 +2 得xxx上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖。六、强化训练六、强化训练1对函数作代换 x=g（t） ，则总不改变 f（x）值域的代换是 baxxxf23)(（ ）ABttg21log)(ttg)21()(Cg（t）=（t1）2Dg（t）=cost2方程 f（x，y）=0 的曲线如图所示，那么方程 f（2x，y）=0 的曲线是 （ ）3已知命题 p：函数的值域为 R，命题 q：函数)2(log2 5 . 0axxy是减函数。若 p

15、或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范xay)25( 围是Aa1Bam（x 1）对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取2值范围。16 设等差数列a 的前 n 项的和为 S ，已知 a 12，S0，S0） ，则，解出 x2，再用万能公式，选 A； 22 12x x1 122 x x1 58利用是关于 n 的一次函数，设 S S m，x，则（，p） 、S nn pqSpqp q m p（，q） 、m q（x，p+q）在同一直线上，由两点斜率相等解得 x0，则答案：0；http:/ 快乐学习，尽在中小学教育 网9设 cosxt，t1，1，则 at t1，1，所以答案：，1；25 45 410设高 h，由体积解出 h2，答案：24；3611设长 x，则宽