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1、近世代数（B 卷）第 1 页 共 3 页安徽大学安徽大学 20082009 学年第一学期学年第一学期近世代数近世代数考试试卷（考试试卷（B 卷）卷）一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、模 n 的同余关系是一个等价关系 2、整数集 Z 对于普通的数的乘法作成一个群3、是的一个极大理想x Z x4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群5、数域 F 上的多项式环是一个欧氏环 F x二、计算分析题1、设两个六次置换：，计算：，(134652)(1235)(46)2 12、求剩余类环的所有可逆元和所有子环12Z3、在中计算： 8Z32(432)(53)xxxx三、举例题（对下列的各
2、种情形，请各举一例） 1、环的素理想而非极大理想； 2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等； 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群 四、证明题（本题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分） 1、证明在一个有限群中： 1) 阶数大于 2 的元素的个数一定是偶数； 2) 偶数阶群里阶等于 2 的元素个数一定是奇数2、设，证明：对且HG1,aG aHaG 1aHaH3、证明：对集合关于普通的矩阵的加法和乘法作2,abRa bFba数域成一个有单位元的交换环4、设是一个无零因子的环，且则R1R 1）中所有非零元素（对加法）的阶均相同；R 2）若的特征有限，则必为素数R5、设是群的两个正
3、规子群，证明：,H KG1）如果与都是交换群，则也是交换群；GHGKGHKI2）若 ，证明：与中元素相乘时可交换HK IeHK近世代数（B 卷）第 2 页 共 3 页6、环的一个理想叫做诣零的，如果对，均存在，使得RNaN nZ，证明：0na 1) 若是的诣零理想，则是诣零的是诣零的；NRRRN2) 环的两个诣零理想之和仍为诣零理想R安徽大学安徽大学 20092010 学年第一学期学年第一学期近世代数近世代数考试试卷（考试试卷（B 卷）卷）一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、设为一个映射，是的一个非空子集，则: XYAX1( ( )AA2、整数集 Z 对于普通的数的乘法作
4、成一个半群 3、整数环的全部素理想是由所有素数生成的主理想和自己本身pp4、若，则,HG KGHKG5、域是一个欧氏环 二、计算分析题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）1、给出剩余类环的所有素理想和极大理想12Z2、设，(143)(45)(26)7(267)(43)S1) 求，的阶； 2) 计算， 1?1? 3、求多项式 在中的所有根321xxx8Z三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例） 1、除环而非域； 2、群的正规子群而非特征子群 四、证明题（本题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分） 1、证明：1) 若环有正则元，则全体正则元对乘法作成一个半群；R 2) 环的
5、元素是正则元当且仅当由可得R0a 0axa 0x 2、设是群的两个正规子群，且二者的交为证明：与的元,H KGeHK素相乘时可换3、设是一个群，称为的换位元，记作由的G, a bG11a b ab, a b, a bG全体换位元生成的群称为的换位子群，记作证明：GG近世代数（B 卷）第 3 页 共 3 页1) 是的正规子群；GG2) 设，则是交换群NGGNGN4、设是群中阶分别为与的两个元素证明：若，, a bGmnabba， ,abm n其中为与的最小公倍数, 并证明中有阶为的元素,m nmnG,m n5、证明：Gauss 整环是一个欧氏环 Z i6、设是一个阶大于 1 且有单位元的可换环证明：是域到任意环RRR 的非零同态都是单的
