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1、1、已知三次函数过点（3,0） ，且函数在点 32, ,f xxbxcxd a b cR( )f x（0，（0） ）处的切线恰好是直线。f0y （1）求函数的解析式； f x（2）设函数，若函数在区间-2，1 上有两个零点，( )91g xxm( )( )( )h xf xg x求实数的取值范围。m解：（1） （1 分）( )fx232xbxc函数过点（3,0）,且在点（0，（0） ）处的切线恰好直线，( )f xf0y 即解得(0)0 (0)0 (3)0f f f 0 0 2790c d bd 0 0 3c d b （6 分） 323f xxx（2）解法一:依题意得,原命题等价于方程在区间上
2、有两个不同的( )( )0f xg x 2,1解即在区间上有两个不同的解,323910xxxm 2,1即在区间上有两个不同的解;32391mxxx 2,1设,则32( )391xxxx2( )3693(1)(3)xxxxx令,得或( )0x1x 3x 当时, 当时, 2,1x 21x ( )0x11x ( )0x在上单调递增, 在上单调递减,( )x( 2, 1)( 1,1)时,又 2,1x max( )( 1)6x( 2)1,(1)10 min( )(1)10x 在区间上有两个不同的解, 32391mxxx 2,116m 故 函数在区间-2，1 上有两个零点时，实数的取值范围( )( )(
3、)h xf xg xm是16m 解法二: 2( )3693(1)(3)h xxxxx令,得或(舍去)( )0h x1x 3x 当时, 当时, 2,1x 21x ( )0h x11x ( )0h x在上单调递增, 在上单调递减,( )h x( 2, 1)( 1,1)时,又 2,1x max( )( 1)6h xhm( 2)1,(1)10hm hm 若函数在区间-2，1 上有两个零点,则( )( )( )h xf xg x即 ,解得( 2)0 ( 1)0 (1)0h h h 10 60 100m m m 16m 故 函数在区间-2，1 上有两个零点时，实数的取值范围( )( )( )h xf xg
4、 xm是16m 18.（14 分）设 2ln.af xxx （1）求 f(x)的单调区间；（2）求 f(x)的零点个数.18.（1）解：f(x)的定义域是0, 1 分 2331axafxxxx 2 分当0a 时， 0fx，0,是 f(x)的增区间， 3 分当0a 时，令 0,fxxa ， （负舍去）当0xa时， 0fx；当xa时， 0fx 5 分所以0,a是 f(x)的减区间，,a 是 f(x)的增区间。 6 分综合：当0a 时，f(x)的增区间是0,，当0a 时，f(x)的减区间是0,a，f(x)的增区间是,a 7 分（2）由（1）知道当0a 时，f(x)在0,上是增函数，当 a=0 时有零
5、点 x=1， 8 分当0a 时， 2210,10,aaaaf ea ef eae 9 分(或当 x+0 时，f(x)-, 当 x+时，f(x)+,)所以 f(x)在0,上有一个零点， 10 分当0a 时，由（1）f(x)在0,a上是减函数，f(x)在,a 上是增函数，所以当xa是，f(x)有极小值，即最小值 1ln12faa。 11 分当1ln102a，即1ae时 f(x)无零点，当1ln102a，即1ae时 f(x)有一个零点，当1ln102a，即10ae时 f(x) 有 2 个零点。 13 分综合：当1ae时 f(x)无零点，当1ae时 f(x)有一个零点，当10ae时 f(x) 有 2
6、个零点。14 分10(本小题满分 12 分) 已知函数)( 1332)(23R Raxaxxxf()若)(xf在区间) 1 , 1(上为减函数，求a的取值范围；()讨论)(xfy 在) 1 , 1(内的极值点的个数。10.解：() 1332)(23xaxxxf322)(2axxxf (2 分)(xf在区间) 1 , 1(上为减函数)(xf O 在区间) 1 , 1(上恒成立 (3 分)322)(2axxxf是开口向上的抛物线) 1( f0 322 a0只需 即 (5 分) 1 (f 0 322 a00)21(2)1(af0)21(2)1(af0)21(2)1(af0)21(2)1(af21a2
7、1(6 分)()当21a时， 存在) 1 , 1(0x，使得0)(0 xf)(xf在区间) 1 , 1(内有且只有一个极小值点 (8 分)当21a时 存在) 1 , 1(0x，使得0)(0 xf)(xf在区间) 1 , 1(内有且只有一个极大值点 (10 分)当21a21时，由()可知)(xf在区间) 1 , 1(上为减函数)(xf在区间) 1 , 1(内没有极值点综上可知，当21a21a时，)(xfy 在区间) 1 , 1(内的极值点个数为1当21a21时，)(xfy 在区间) 1 , 1(内的极值点个数为0 (12 分)14已知函数（）( )e1xf xaxaR（）当时，求函数的单调区间；
8、0a ( )f x（）函数在定义域内是否存在零点？( )( )lnF xf xxx 若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；（）若对任意恒成立，求 a 的取值范围( )0f x 0x 14解：（）由，则( )e1xf xax( )exfxa由，得；由，得，( )0fxlnxa( )0fx lnxa所以函数的单调增区间为，单调减区间为( )f x(ln ,)a (,ln )a（）函数的定义域为，由，( )( )lnF xf xxx(0,)( )0F x 得（） ，令（） ，e1lnx axx0x ( )h x e1lnx xx0x 则，( )h x 2(e1)(1)xx x由于，可知当，
9、；当时，0x e10x 1x ( )0h x 01x( )0h x 故函数在上单调递减，在上单调递增，( )h x(0,1)(1,)故 ( )(1)e1h xh又由（）知当时，对，有，1a 0x ( )(ln )0f xfa即，111x xeexx （随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远0x e1xy 大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢yxlnyx则当且无限接近于 0 时，趋向于正无穷大.）0x x( )h x当时，函数有两个不同的零点；e1a ( )F x当时，函数有且仅有一个零点；e1a ( )F x当时，函数没有零点e1a ( )F x（）由，则( )e1xf xax( )exfxa 当时，对，有，1a 0x ( )0fx所以函数在区间上单调递增，( )f x(0,)又，即对恒成立 (0)0f( )(0)0f xf0x 当时，由（）知，单调递增区间为，单调递减区间为1a ( )f x(ln ,)a ，(,ln )a若对任意恒成立，( )0f x 0x 只需， min( )(ln )ln10f xfaaaa 令（） ，( )ln1g aaaa1a ( )1ln1ln0g aaa 即在区间上单调递减，又，( )g a(1,)(1)0g故在上恒成立， ( )0g a (1,)故当时，满足的 a 不存在1a ln10aaa 综上所述，a 的取值范围是 (,1
