开平方的计算

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1、在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解 题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简1024，因为 1024=210,所 以。 1024=25=32；又如1256=（23*157）2*(2*157）2314. 如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得 很详细。以下的介绍不知能否讲清楚：比如求37625.(如图）将 37625 从个位起，向左每两位分一节：3,76,25找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得 1(1 的平方为 1,而 2 的平方为 4,大于 3,所以得 1）.把 1 写在竖式中 3 的上方。将刚才所得的 1

2、 平方写在竖式中 3 的下方,并相减，然后将 76 移写在本行 （如图）将前面所得的 1 乘 20,再加一个数 a,写在竖式的左方（如图），并同时把 a 写在竖式的上方对准 6。而这个所谓的 a，是需要试验的，使它与（20+a）的 积最大且不超过 276.本题中所得的 a 为 9用 9 乘 29,再用 276 减去，所得的差写在下方继续反复运用步骤和。如果后面的数字不足，则补两个 0,继续运算。如 果最后的余数是 0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数 部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是 2779）手算开平

3、方和开立方的方法手算开平方和开立方的方法 2011-01-14 17:58手算开平方和开立方的方法手算开平方和开立方的方法1)1)开平方开平方 ExtractingExtracting SquareSquare RootRoot写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。

4、写出减的结果，并将被然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘 2 2 后再乘后再乘 1010 的积作为新的除数的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。除数与商的积写在被除数的下

5、方，然后相减，继续此步骤直的后面。除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。如果除不尽，到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。余数后面可再补两个零，继续到所需位数。2)2)开立方开立方 ExtractingExtracting CubeCube RootRoot：原理原理: : 从小数点起每从小数点起每 3 3 位分段位分段方法方法1、数 m 开 n 次方，n 位一节为一根，前根均作 a, a 后需求的根均作 b；前根 a 的位数不断增长，后根 b 永远作一位根视；直至开尽或开

6、至所需要的位数。 2、首位 a 根用 19 内 n 方诀直接确定，【随后就无 a 根系列的事了；或用双根或多位根作 a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为 a 根，再求 b=x】b 根用“标准固律方程式”或“简易求 b 方程式”求。 原理原理正向乘方式：正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s 根据 n 的数字而定值，n 为上标，文本网显示不出来，希理解。因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。】 逆向开方时：逆向开方时：man=bn+s=xn+s；manbn=s； 如 二次方的 s=2ab； 三次方的 s=3abD【D=a+b】 五次方的 s=5abD（D

7、2ab）【D=a+b；前面的 2 为上标，特说明。】 其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。 即：bn=mans=cs【c 为可知数，s、bn 为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明中的 lan3高方直开法与直开式的方程解篇。 例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】 所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】注：3 为上标。特说明。 其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。 但 m 开 3 次方时，这个原公

8、式帮不上忙了，即必须进行转换。 因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD【D=a+b】， 而后面转换成为 m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则 m 开方时就有同二次方一样的公式求根式可用了，在任意高次方中理同二次方无异。 也即在实际开高次方或无穷大指数上标数时，或高次方程的运算过程中【注意：求 b=x 根就是科学上的各种一元 n 次方的标准方程式】，结构数学都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。

9、注意注意m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个 2ab 就是二次方的 S；所以二次方都会解！ 而： m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）= a3+b3+3abD【D=a+b】；这个 3abD 就是三次方的 S；懂此者就如同二次方一样都会解！又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-ab) 五次方的 S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。 而这些 3ab（a+b）=3abD=S；5ab

10、D(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个 S 就是高次方程解的奥秘。 在无穷大次方中，你知道了 S，那么高次方的解同二次低方解的 S=2ab 的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。 公式公式 X_(n+1)=X_n+A/(XX_(n+1)=X_n+A/(X（k-1k-1）-X_n1/k-X_n1/k公式公式 X_(n+1)=X_n+A/(X（k-1）-X_n1/k “_“表示下角标，表示下角标，“”表示上角标。例表示上角标。例如，如，X2,表示表示 x 的平方；的平方；X_1 表示第一个表示第一个 X。 例如，例

11、如，A=5，k=3. 公式：公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn2-Xn）1/3 5 介于 13 至 23 之间（1 的 3 次方=1，2 的 3 次方=8） ? X_0 可以取 1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0 都可以。例如我们取2.0.按照公式： 第一步：X_1=2.0+5/(2.02-2.01/3=1.7.。输入值大于输出值，负反馈； ? 即 5/22=1.25，1.25-2=-0.75，0.751/3=0.25， 2-0.25=1.75，取 2 位数值,即 1.7。 第二步：X_2=1.7+5/(1.72-1.71/3=1.71.。输入值小

12、于输出值，正反馈； 即 5/1.71.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.031/3=0.01， 1.7+0.01=1.71。取 3 位数，比前面多取一位数。 第三步：X_3=1.71+5/(1.712-1.711/3=1.709。输入值大于输出值，负反馈 第四步：X_4=1.709+5/(1.7092-1.7091/3=1.7099.输入值小于输出值，正反馈； 这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动 转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。X_4=1.7099. 当然也可以取 1.1，1.2，1.3，。1.8，1.9 中的任何一个。

13、 开平方公式开平方公式 X（n + 1） = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2.。（。（n，n+1 与是下角标）与是下角标） 例如，A=5： 5 介于 2 的平方至 3 的平方;之间。我们取初始值 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9 都可以，我们最好取 中间值 2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即 5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.51/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取 2 位数 2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即 5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.072721/2=- 0.03636，2.2+0.03636=2.23。取 3 位数 2.23。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即 5/2.23=2.2421525，,2.2421525- 2.23=0.0121525，,0.01215251/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取 4 位数。 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关 系，输出值会自动调节，接近准确值。