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1、专题一：解析高中复合函数一，复合函数的定义：设 y 是 u 的函数，即 y=f(u),u 是 x 的函数，即u=g(x)，且 g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集非空，那么 y 通过 u 的联系成为 x 的函数，这个函数称为由 y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作 y=fg(x),其中 u 称为中间变量。二，对高中复合函数的通解法综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例 1：指出下列函数的复合过程。（1）y=2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos1-x2解：() y=2-x2 是由 y=u,u=2-x2 复合而成的。（2）y=si
2、n3x 是由 y=sinu,u=3x 复合而成的。（3）y=sin3x=(sinx)-3y=sin3x 是由 y=u-3,u=sinx 复合而成的。（4）y=3cos1+x2 是由 y=3cosu,u=r,r=1+x2 复合而成的。2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。看下例题：例：已知 f(x+3)的定义域为1、2,求 f(2x-5) 的定义域。经典误解：解：f(x+3)是由 y=f(u),u=g(x)=x+3 复合而成的。F(2x-5)是由 y=f(u2),u2=g(x)=2x-5 复合而成的。由 g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11f(
3、u1)的定义域为1、2x2-92x-11-6即：y=f(u2)的定义域为-9、-6f(2x-5)的定义域为-9、-6经典误解：解：f(x+3)的定义域为1、21x+32-2x-1-42x-2-92x-5-7f(2x-5)的定义域为-9、-7（下转 2 页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过 u 的联系成为 x 的函数，这个函数称为由 y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作 y=fg(x),其中u 称为“中间变量” 。从以上误解中找出解题者易将 f(x+3)的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误
4、。而从定义中可以看出 u 仅仅是中间变量，即 u 既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指 y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的 x 的取值范围，即：f(x+3)是由 f(u),u=x+3 复合而成的复合函数，其定义域是 x 的取值范围。正确解法：解:f(x+3)是由 y=f(u1),u1=x1+3(1x2)复合而成的。f(2x-5)是由 y=f(u2),u2=2x2-5 复合而成的x124u154u2542x2-552x25f(2x-5)的定义域为、5结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即 u 为第一层，x 为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同
5、层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解与的情况。三、高中复合函数的题型（不包括抽象函数）题型一：单对单，如：已知 f(x)的定义域为-1,4,求 f(x2)的定义域。题型二：多对多，如：已知 f(x+3)的定义域为、,求 f（2x-5）的定义域。（下转 3 页）题型三：单对多，如：已知 f(x)的定义域为0、1,求 f(2x-1)的定义域。题型四：多对单，如：已知 f(2x-1)的定义域为0、1,求 f(x)的定义域。注：通解法综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键）下面用综合分析法解四个题型题型一：单对单：例 3：
6、已知 f(x)的定义域为-1、4,求 f(x2)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由 y=f(u),u=x22 复合而成的。（由于要同层考虑，且 u 与 x 的取值范围相同，故可这样变形）f(x)是由 y=f(u),u=x1 复合而成的。f(x)的定义域为-1、4第 2 步：找出复合函数定义域的真正对应-1x14即-1u4 又u=x22-1x224(x2 是所求 f(x2)的定义域，此点由定义可找出) -2x22f(x2)的定义域为(-2,2)结论：此题中的自变量 x1,x2 通过 u 联系起来，故可求解。题型三：单对多：例 4：已知 f(x)的定义域为0,1,求 f(
7、2x-1)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由 y=f(u),u=x1 复合而成的。f(2x-1)是由 y=f(u),u=2x2-1 复合而成.第 2 步：找出复合函数定义域的真正对应：0x110u102x2-11x21f(2x-1)的定义域为，1结论：由此题的解答过程可以推出：已知 f(x)的定义域可求出 y=g(x)的定义域。下转 4 页题型四：多对单：如：例 5：已知 f(2x-1)的定义域为0、1,求 f(x)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由 f(u),u=2x1-1 复合而成的。f(x)是由 f(u),u=x2 复合而成的。第 2
8、 步：找出复合函数定义域对应的真正值：0x1102x12-12x1-11-1u1-1x21f(x)的定义域为-1、1结论：由此题的解答过程可以推出：已知 y=fg(x)的定义域可求出 f(x)的定义域。小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过 u 这个桥梁将 x1 与 x2 联系起来解题。题型二：多对多：如例 6：已知 f(x+3)的定义域为1、2,求 f(2x-5)的定义域。解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：已知 f(x)的定义域可求出 y=fg(x)的定义域”已知 y=fg(x)的定义域可求出 f(x)的定义域可以推出 f(x)与 y
9、=fg(x)可以互求。若 y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知 y1=f(x+3)的定义域，故这里 f(x)成为了联系 y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，其作用与以上解题中 u 所充当的作用相同。所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出 f(x)，再以 f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由 y=f(u)u=x+3 复合而成的。f(2x-5)是由 y2=f(u)u=2x-5 复合而成的。第二步：求桥梁 f(x)的定义域：1x24x+354u5设：函数 y3=(u),u=
10、x下转 4页y3=f(x)的定义域为4、5第三步：通过桥梁 f(x)进而求出 y2=f(2x-5):f(x) 是由 y3=f(u),u=x 复合而成的4x54u542x-55 x25f(2x-5)的定义域为：5小结：实际上，此题也可以 u 为桥梁求出 f(2x-5), 详参照例 2 的解法。四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。如：例 7：已知函数 y=f(x)的定义域为0、1，求函数 y=f(x2+1)的定义域。解：函数 f(x2+1)中的 x2+1 相当于 f(x)中的 x(即 u=x2+1,与u=x)0x2+11-1x20x=0定义域为0小结：本题解答的实质是以 u 为桥梁求解。例 8：已知 y=f(2x-1)的定义域为0、1,求函数 y=f(x)的定义域。解：由题意：0x1（即略去第二步，先找出定义域的真正对象） 。-12x-11(即求出 u,以 u 为桥梁求出 f(x)视 2x-1 为一个整体（即 u 与 u 的交换）则 2x-1 相关于 f(x)中的 x(即 u 与 u 的交换，f(x)由 y=f(u),u=x 复合而成，-1u1, -1x1) 函数 f(x)的定义域为-1、1总结：综合分析法分了个步骤 写出复合函数的复合过程。 找出复合函数定义域所指的代数。 找出解题中的桥梁（u 或 f(x)可为桥梁）
