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1、1常见参数取值问题的题型及对策常见参数取值问题的题型及对策http:/www.DearEDU.comhttp:/www.DearEDU.com 求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。一、一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范 围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立 问题转化成函数的最值问题求解。例例 1 1已知当 xR 时，不等式 a+cos2x3 即a+245 a45 a上式等价于或，解得a0,( t1,
2、1)恒成立。45 a 设 f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为 t=1,45 af(x)在1，1内单调递减。只需 f(1)0,即a2.(下同)45 a例例 2 2已知函数 f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数 k，使不等式 f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。 分析分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 ksinxk2sin2x1 对于任意 xR 恒 成立，这又等价于对于任意 xR 恒成立。 )2()21(sin41) 1 (sin12222xkkxk不等式（1）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2(1+sin2x)min=1,即
3、1k1- (3)不等式（2）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2k+(sinx)2max=,4121 49即 k1 或 k2,-(4) 由（3） 、 （4）求交集，得 k=1,故存在 k=1 适合题设条件。 说明说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。2例例 3 3设直线 过点 P（0，3） ，和椭圆顺次交于 A、B 两点，试求的lxy22941AP PB取值范围.分析分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的AP PBBA xx根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造 所求变量关于某个（或某几个）参数的函
4、数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施； 其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路思路 1:1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量AP PBBA xx，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线AB的斜BAxx ,率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆BAxx ,方程，消去 y 得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.x解解 1 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得；l51PBAP当 与 x 轴不垂直时，设，直线 的方程为：，代入椭l)(,2211yxByxA，l3 kxy圆方程，消去得，y0455
5、44922kxxk解之得 .4959627222, 1kkkx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑的情形.0k当时，0k4959627221kkkx4959627222kkkx所求量的取值范围把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA= f（k） ，xB = g（k）得到所求量关于 k 的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出 k 的取值范围3所以 =.21 xx PBAP 5929592922kkkk5929181 2 kkk25929181k由 , 解得 ，049180)54(22kk952
6、k所以 ，51592918112 k综上 .511PBAP思路思路 2:2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定k理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自21 xx PBAP21,xx然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.21,xx解解 2 2：设直线 的方程为：，代入椭圆方程，消去得l3 kxyy（*）045544922kxxk则 令，则， .4945,4954221221
7、kxxkkxx 21 xx.20453242122kk 在（*）中，由判别式可得 ，, 0952k把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去y 得到关于 x 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，xA xB = g（k）构造所求量与 k 的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出 k 的取值范围4从而有 ，所以，536 2045324422 kk 536214解得.结合得. 55110151综上，.511PBAP说明说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性 法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也
8、可从数形结合的角度入手，给出又一优美解 法. 二、直接根据图像判断二、直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快 捷。 例例 4 4 （2003 年江苏卷第 11 题、天津卷第 10 题）已知长方形四个顶点 A（0，0） ， B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3和 P4（入射角等于反射角）.设 P4的坐标为（x4，0）.若 1
9、1,并且必须也只需当 x=2 时 y2的函数值大于等于 y1的函数值。 故 loga21,a1,10，则根据函 数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成 0)(0 mfa 0)(0 nfa 0)(0)( nfmf同理，若在m,n内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量， 另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于 p 的 一次函数大于 0 恒成立的问题。 略解略解：不等式即(x1)p+x22x+10,设 f(p)= (x1)p+x22x+1,则 f(p)在
10、2,2 上恒大于 0，故有：即解得： )2(0)2(ff0103422xxx 1113xxxx或或x3.例例 8 8.设 f(x)=x22ax+2,当 x1,+)时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。 分析分析：题目中要证明 f(x)a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边 二次函数在区间1,+)时恒大于 0 的问题。 解解：设 F(x)= f(x)a=x22ax+2a. )当=4（a1)(a+2)0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。即 040)4(02121 xxaxx 4016)4(2aa 480 aaa或解得 a8. 解法解法 2 2（
11、利用根与系数的分布知识）： 即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a) t+4. 10.=0,即（4+a）216=0,a=0 或 a=8. a=0 时，f(x)=(t+2)2=0,得 t=20,符合题意。 a=8. 20. 0,即 a0 时，f(0)=40,故只需对称轴，即 a0,y0,x,yZ） 。 120058283020 yxyx计年利润为 s，那么 s3x+6y-2.4x-4y，即 s0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线 0.6x+2xs0 截距的最大值。过点 A 作0.6x+2y=0 的平行线即可求出 s 的最大值。联立得 A（18,
12、12） 。 1200582830 yxyx将 x18，y12 代入 s0.6x+2y 求得 Smax34.8。设经过 n 年可收回投资，则 11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得 n33.5。 学校规模初中 18 个班级，高中 12 个班级，第一年初中招生 6 个班 300 人，高中招生 4 个班 160 人。从第三年开始年利润 34.8 万元，大约经过 36 年可以收回全部投资。 说明说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。 要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育 主要是社会效益，提高整个民族的素质，经
13、济效益不明显。 五、五、强化训练强化训练1 （南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试题） 若对个向量存在nnaaaL,21个不全为零的实数，使得成立，则称向量nnkkk,21L02211nnakakakL为“线性相关” 依此规定， 能说明，naaaL,211(1,0)a u r，“线性相关”的实数依次可以取 （写出一组数值2(1, 1)a u u r3(2,2)a u u r321,kkk即可，不必考虑所有情况） 2 2已知双曲线，直线 过点，斜率为，当时，122:22 xyCl0 ,2Ak10 k12双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为，试求的值及此时点 B 的坐标。l2k
14、3 3设函数 f(x)=2x-12-x-1,xR,若当 0时，f(cos2+2msin)+f(2m2)02恒成立，求实数 m 的取值范围。4已知关于 x 的方程 lg(x +20x) lg(8x6a3)=0 有唯一解，求实数 a 的取值范2 围。5试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形k22(2)(6)(6)(2)kxk yk k状，并指出其焦点坐标。 6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场 需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确 定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金 和劳动力
15、，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金（百元）资金空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本3020300 劳动力 （工资）510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每 100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0.5 元，米食每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元， 学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何 配制盒饭，才既科学又费用最少？ 8发电厂主控室的表盘，高 m 米，表盘底边距地面 n 米。问值班人员坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的
