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1、1数数学学与与应应用用数数学学专专业业本本科科期期末末考考试试 常常微微分分方方程程答答案案及及评评分分标标准准（A A） 一、填空题（每小题 3 分）1、 2、 3、 4、1 5、)()(yxfdxdy0xN yM Ctt)()(二、求解下列一阶微分方程（每小题 10 分）1、解： -所以 -则 yxee dxdydxedyexyCeexy2、解：因为 -所以是恰当方程。原方程改写为xyxN yM2所以是通解。0)3(3463422232yxyxddyydxxydyxCyxyx342233、解： - 0)(0x20121)0 ,(0)(xdxxfxx 5202 2201 21)21,(0)(
2、xxdxxxfxx 4、三、求解下列高阶微分方程（每小题 10 分）1、解：特征方程，故有基本解组，-3 分044222, 1te2tte2对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入texxx44 1teAtx11)(，得；texxx44 11A对于方程，是二重特征根，故有形如的特解，将其代入texxx2 442tetAtx2 22)(，解之得，texxx2 44212A对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入144 xxx0Atx)(3，得，-9 分144 xxx41A所以原方程的通解为-10 分41 21)()(22 212tttetetccetx2、解：方程为欧拉方程-
3、5 分，解得 -8 分064) 1(KKK3,221KK方程通解为 -10 分3 22 1tctcx3、解：解：令，则，原方程化为yx dxdyyx 032yydxdyxy2即由得由得0)(2yydxdyxy0ycx 02yydxdyxdxyxd)(即原方程的通解及11cxxycxyx 21 1lnctxcxcxxx21lnctxcx四、求解下列微分方程组（15 分）cx 解：特征方程0964112)det(2AE特征根（二重）求特征向量 ，得301111)3(21 ccCAE 11C令，代入公式得-10 分 21 )3()(3eAtEett )()(2122113 ttet tttteeAt
4、EeAttt 11)3()exp(33五、证明题（10 分）证明: 设黎卡提方程的一个特解为 yy 令 , 又 -4 分yzydxyd dxdz dxdy)()()(2xryxqyxpdxdydxydxryzxqyzxpdxdz)()()(2由假设 -8 分)()()(2xryxqyxpdxyd得 ，zxqyxpzxpdxdz)()(2)(2此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解-10 分2n注：其他合理答案相应给分。注：其他合理答案相应给分。邯邯郸郸学学院院 2 20 00 08 8- -2 20 00 09 9 学学年年第第二二学学期期 2007 级级数数学学与与应应用用数数学学专专
5、业业本本科科期期末末考考试试 常常微微分分方方程程答答案案及及评评分分标标准准（B B） 一、填空题（每小题 3 分）1、 2、 2 3、 4、 nCtt)()(nn n dxydx11 1 1 nn n dxydxa301yadxdyxannL5、xN yM 二、选择题 （每小题 3 分） 1、B 2、 D 3、 B 4、 A 5、 C 三、求解下列微分方程（每小题 10 分）1、解： 所以 -则 yxee dxdydxedyexyCeexy2、解：特征方程， 故有基本解组，、0452412, 124, 3ttee,te2te2原方程的通解为 -10 分ttttecececectx2 42
6、321)(3、解：这里 ，这是一个全微分方程。-3 分( , )( , )1M x yN x y yx 000( , )( ,)( , )xyu x yM x y dxN x y dy200(1)(3)xyxdxxydy于是方程的通解为 23 323xyxxyy23 323xyxxyyC4、解：，由公式得ttp2)(= dttttccttx22211 sinsin)cossin(11tctct5、解：线性方程的特征方程故特征根-分0xx210 i 是特征单根，原方程有特解代入原方程1( )sinf tti( cossin )xt AtBt0,21BA不是特征根，原方程有特解代入原方程2( )c
7、os2ftt 2icos2sin2xAtBt-9 分0,31BA所以原方程的解为-10 分1211cossincoscos223xctctttt四、求解下列微分方程组（12 分）解：特征方程，特征根03463553)det(2AEi 532, 14求特征向量 ，得i 53105555)(21 1 uuiiUAE iU1求特征向量-5 分i 532 1iV，-10 分 titititieieieet)53()53()53()53( )( 11)0(1 ii-15 分 ttttetAtt 5cos5sin5sin5cos)0()()exp(31五、证明题（8 分） 证明：由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解：-4 分10200 10200111 10200( )1,( )0,( )0( )0,( )1,( )0( )0,( )0,( )1nnnnn nx tx tx tx tx tx txtxtxtL LL LL L L L L L L L L L L L L L LL考虑10200100 010( ),( ),( )10001nw x tx tx t L LLLLLL L从而是线性无关的。-8 分( )(1,2,)ix t inL
