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1、基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法摘摘 要：要：关键词关键词：四元数 奇异值分解 图像质量评价图像质量评价是图像处理的重要研究内容之一，作为算法性能评判及参数优化的重要指标，图像质量评价对于图像采集、压缩、编码、去噪、增强、水印、认证、存储、合成、复制等相关领域具有重要意义一。图像质量评价用来表征畸变图像相对于作为标准图像的原始图像的差异程度，其中的畸变图像主要指对原始图像进行如下变换：噪声（高斯、椒盐） 、模糊（失焦、大气湍流、运动模糊） 、有损压缩（JPEG、JPEG2000、SVD、小波）等。图像质量评价主要有主观和客观两种方式。考虑到传统的主观
2、质量评价不仅对实验条件要求有着苛刻的要求，而且实施步骤复杂，不能满足实时性的要求，客观质量评价吸引了更多关注。根据参考图像的存在与否，客观图像质量评价方法又可分为全参考、半参考和无参考三种算法。其中，对于全参考算法的研究最为深入，并将其分为：基于物理信号差异的方法，包括常见的均方误差（MSE)，信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）等指标；基于人言视觉系统（HVS）建模的方法。例如，视觉信噪比（VSNR）利用 HVS 的临界阈值和超阈值视觉感知特点改进 SNR，以便更好的吻合人眼视觉感知结果；基于结构相似性的方法。假设结构信息丢失是造成图像质量下降的唯一原因，此类方法包括了结构相似度（SSI
3、M)和它的多分辨版本（MSSSIM);基于自然场景统计（NSS)的方法，包括信息置信度标准（IFC）和视觉信息置信度（VIF） 。1.四元数基础四元数基础1.1 四元数及四元数矩阵的定义1983 年，英国数学家哈密顿（Hamilton W R)创造了四元数1,一个四元数 q 是四维空间中的一个数，它包含一个实部 a 和三个虚部 b、c、d，其基本形式为：（1）dkcjbiaq其中，a、b、c、d 是四个实数，基元 i、j、k 满足（2）1222ijkkji（3）jikkiikjjkkjiij,四元数的全体记为，若矩阵，则称为阶四元HHaaAijnmij,)(Anm数矩阵，阶四元数全体记为。nm
4、nmH1.2 四元数矩阵的特征值和特征向量设为四元数矩阵，如果存在四元数及非零的四元数向量，使)(qA)(qx，称为的左特征值，为的属于左特征值的特征向)()()(qqqxxA)(qA)(qx)(qA量。同理，可以定义有特征值和特征向量的关系时：。)()()(qqqxxA1.3 四元数的等价复矩阵设是的四元数矩阵，记作，如果，其)(qAnmnm qHA)(iBAAccq)()()(中和是两个复矩阵，那么的等价复矩阵定义为)(cA)(cB)(qA。nmcccc ceCABBAA22)()()()( )( 1.4 四元数的等价实矩阵设，若，那么nm qHA)(,)(kAjAiAAAkjirq),(
5、kjirlRAnm l的等价实矩阵定义为)(qAnmrijkirkjjkrikjirreRAAAAAAAAAAAAAAAAA4 )(2. 奇异值分解和四元数矩阵的奇异值分解奇异值分解和四元数矩阵的奇异值分解2.1 奇异值分解2奇异值分解是一种有效的代数特征提取方法。任意实数或复数矩阵可以A分解成三个矩阵的乘积,其中、为正交矩阵，即，TUSVA UVIUUT;为对角矩阵，即，IVVTS),(21isssdiagSL), 1(0risiL，被称为的奇异值，的列向量称为的左奇异向量，的列)(Arankr isAUAV向量称为的右奇异向量，这就是奇异值分解（） ，也可以写成：ASVD(4)T iiri
6、iVUsA 1从线性代数的角度来看，一幅数字灰度图像可以看成是由对应位置像素的灰度值作为元素组成的实数矩阵，即图像矩阵，那么灰度图像（公式 4）也A可以被认为是 个秩为 的特征图以各自奇异值为权相加的总和。r1T iiVU2.2 四元数矩阵奇异值分解的存在性性定理3若是秩为 的的四元数矩阵，则必存在两个四元数酉矩阵)(qXrnm和，使得，其中，mm qQU)(nn qQV)(nmr qqH qRVXU 000)()()(，均为正实数，即为的奇异值，rrdiag,21L01 (rii)(qX，符号是共轭转置。rL22H即对任意的的四元数矩阵可进行如下的奇异值分解：nm)(qXH qr qqVUX
7、)()()(000 当然（单位矩阵） 。nnH qqmmH qqIVVIUU)()()()(,文献4给出了四元数奇异值分解存在性的证明2.3 四元数奇异值分解的意义5假设有，那么H qqqVUX)()()(2 ( )( )( )( )HH qqqqXXUU, 2 ( )( )( )( )HH qqqqXXVV。所以，四元数矩阵奇异值分解的意义是：（1）2是和的实特征值对角阵。H qqXX)()()()(qH qXX（2）和的列向量分别是和的特征向量。)(qU)(qVH qqXX)()()()(qH qXX2.4 四元数矩阵奇异值分解的算法第一步：给定四元数矩阵,求出的复表示矩阵；AAA第二步：
8、求出复矩阵的特征值和相应于AA)( 22 11,nnL的标准正交特征向量，记);n,21Lnxxx,21LV nVV nxxxxxxV,(2121LL第三步：计算并扩充形成 22 112211,rV rVVrrxAxAxAxAxAxALL的标准正交基，记12 mC),(1 22 11 12211V mV rrV rVvmrrryyxAxAxAyyxAxAxAUKKKK );0 , 0 , 0 , 0 ,( 2 121KKKKrrdiag第四步：利用复表示的逆变换，求出。,VU彩色图像的单个像素都是由三种基本颜色按一定比例组合而成的，包含R、G、B 三分量的彩色图像的任一点处的像素都可用一个纯四
9、元数（实),(yx部为）来表示，如式（5）：0kyxbjyxgiyxryxq),(),(),(),(（5）式中，及表示图像中点处的红、绿、蓝三基色值，),(),(yxgyxr),(yxb),(yx是虚数单位。因此，一幅的彩色图像就可以表示成一个的四kji,nmInm元数矩阵，如下：) 1, 1() 1 , 1()0 , 1() 1, 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1, 0() 1 , 0()0 , 0(nmqmqmqnqqqnqqqILLLLLLL（6）根据（5）式，可将（6）式表示为如下形式：（7）BkGjRiI可以通过四元数矩阵与其等价实矩阵的关系来计算的奇异BkGjRiI值
10、分解：第一步：写出彩色图像四元数矩阵的等价实矩阵；)(qI)(reI第二步：计算实矩阵的奇异值分解，即，T 表示转置；)(reIT rrreVUI)()()(第三步：通过计算的奇异值，通过和计算的两个四元数酉 )(qI)(rU)(rV)(qI矩阵。3. 基于四元数奇异值分解的质量评价算法基于四元数奇异值分解的质量评价算法3.1 现有评价算法分析传统的图像质量评价算法6MSE 和 PSNR 是基于亮度误差的图像质量评价，设原始图像其中 M 和 N 为图像的像素宽度和, 2 , 1;, 2 , 1),(NnMmnmILL高度，畸变图像为，则有),(nmI（8）211),(),(1nmInmIMNM
11、SEMmNn （9）MSEnmIPSNR2),(max(log10式中，可以亮度的最大值 255 代替。这两种算法简单，从整体上反),(max(nmI映了原始图像和畸变图像的差别，能较好的评价图像之间的能量误差，但不能反映局部质量差异（比如少数像素有较大灰度差别而其余更多像素有较小灰度差别的情况） ，也不能评价图像的几何变换等尺寸不一致的情况。设分别为原始图像和畸变图像6，则定义质量评价为yx,（10） )(422222yxyxQyxxy z 式中，分别为的均值、方差；为和的协方差。22,yxyxyx,2 xyxy的值在之间，当且仅当时，,虽然文献7中给出的评价zQ 1 , 1yx 1ZQ结果
12、又其优越性，算法包含了相关性损失、亮度畸变和对比度畸变，但从式（10）可以看出，本方法仍是基于灰度统计误差的，因此对图像的几何变换等尺寸不一致的情况，仍然无能为力。参考文献1 Hamilton W R.On quaternions.Proceeding of the Royal Irish Academy,1844.2 张富强，李均利，李纲，满家巨，陈刚.基于四元数奇异值分解的视频质量评价方法J.电子学报.2011.1,1.王征风，徐飞，王波，卢斌.一种四元数矩阵建模的彩色图像质量评价方法J.航空计算技术.2014.11,44（6）.3 陈明刚.四元数矩阵的奇异值分解及其应用D.西安：西安建筑
13、科技大学，2009.4 Fuzhen zhang.Quaternions and matrices of quaternions.Linear Algebra and Its Applicationa,1997,251:21-57.5 邢燕，檀结庆.基于四元数奇异值分解的彩色图像分解J.工程图学报.2011,2.6 骞森，朱剑英.基于奇异值分解的图像质量评价J.东南大学（自然科学版）.2006.7,36(4).7 Wang Z,Bovik A C.A universal image quality index J.IEEE Signal Processing Letters.2002,9(3):81-84.
