待定系数法在向量高考题中的应用

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1、应用“待定系数法”解向量高考题作为一种数学方法，待定系数法形象、直观，在数学问题的解决中有着很广泛的应用。例 如 用待定系数法求解函数的解析式或在“导数”中求切线的方程。在人教版第一册（下） 第五章平面向量中的相关概念和定理也都给出了“待定系数法”应用的暗示，有关证 明和计算如果引入参数利用待定系数法，渗透方程思想常常会起到意想不到的效果，使问 题变的通俗易懂。向量及其运算在高考题中大都单独命题，多以选择或填空题题的形式出 现。本文通过几个高考题简单地谈一谈此法在向量求解中的一些体会。 一根据题设要求， （1）用字母 a、b 表示所求的向量。例 1 中，M、N 分别为 DC，BC 的中点，已知

2、c,d,试用 c，d 表示向ABCDYAM uuuu rAN uuu r量。,AD ABuuu r uuu r解析：如图所求向量与已知向量 c,d 的关系没有直接体现在同一个三角形中，,AD ABuuu r uuu r欲直接得与 c,d 的关系很难，需要借助辅助线或辅助图形来求解。如下图,AD ABuuu r uuu rjG NM DCBA解法（一）：作 BC，AN 的延长线，交于点 G，可得 BC=CG，AN=NG3M2 2 N 32 NM2 42NM33 42dc33AGABCAGAAABCBCAABCuuu ruuu u ruuu ruuu ruuu rQ uuu ruuu u ruuu

3、 ruuu ruuu ruuu u ruuu rrr即也就是1A = M+CB2 1 24=c+(c-d)2 33 42=c-d33B Auuu r uuu u ruuu rrrrrr但是若用待定系数法将得到不一样的局面，解法如下：解法（二）：设a,b,根据向量加法的三角形法则可得方程组AD uuu rAB uuu ra bd，1 2ba c 1 2解得 a d c4 32 3d c d4 32 3 d cDAuuu r4 32 3bc dAB uuu r4 32 3 此中解法通过列出所求向量的方程组，按照实数求解方程组的方法类似地求解向 量方程组。 （2） “向量坐标的表示”将向量的运算完全

4、带入了代数领域，解题时适时地设出向量的坐 标，能起到事半功倍的作用。例 2（2005 年天津高考题）在直角坐标系 xoy 中，已知点 A（0，1） ，和点 B（3，4） ，若点 c 在的角平分线上且，则 AOBO=2Cuuu rOCuuu r4321-4-224j OCB A 分析：的坐标由题意可轻松地得到，所以可设的坐标，O ,OBAuuu r uuu rOCuuu r又 ，所以可设（）O=2Cuuu rOCuuu r2cos ,2sin解：设（）OCuuu r2cos ,2sinCAOBOOOC(O +) OC(O +)5OBBAA BQuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ru

5、uu r uuu r点在的角平分线上共线于即共线于O3 43 9O +=(0,1)+(-,)=(-,)55 55 5BAuuu ruuu r（）Q2cos ,2sin3 9(-,)5 5 39-2sin2cos55 tan3 gg又角为第二象限角可得 31sin,cos1010 OCuuu r26(,)1010二 人教版高一数学下册 P115 的“平面向量基本定理”：如果是同一个平面内的两个12,e eu r u u r不共线向量，那么对于平面内的任一向量，有且只有一对使成立。ar12, 1 122aeeru ru u r平面向量基本定理的作用在于可以用一组基底表示此平面内的任一向量，将同一平

6、面内的 所有向量的表示形式进行了统一，为向量的各种运算提供了便利条件，而定理中的便成了我们在解题，析题的一个着陆点。12, 例 3（2006 年福建高考题）已知，点 C 在，且O=1, O3AB uuu ruuu rO=0A OBuuu r uuu rgAOB，设，则等于 AOC=30oOCO +nOB(m,nR)Auuu ruuu ruuu r=mm n分析： 可得下图OOB0Auuu r uuu rQg21.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3-2-112345CBA A设点 C 的坐标为（）则,x yooOCO3OBxAyoouuu ruuu ruuu r=OCOOm An

7、 Buuu ruuu ruuu r=可得 即点 C 的坐标为（m,）OC, 3 )mnuuu r=(3nAOB=30oQ33 3n m3m n三、人教版高一数学下册 P115 “向量共线定理”：向量与非零向量共线的充要条件有brar且只有一个实数，使，其中的存在且唯一为我们应用待定系数法解题又开辟了barr一条新径。例 4 （2005 年全国高考题）两条边上的高线的交点为 H，OABCV的外接圆的圆心，则实数 m 的值为 OHOA OB OCuuu ruuu r uuu r uuu rm (+)分析：涉及三角形的“心”较多，而多“心”混在一起增加了本题的难度，使好多同学学 生面对此题束手无策。

8、解决此题关键要对“外心” ， “垂心”的概念熟悉，外心即为外接圆 的圆心，也就是三角形三条边中垂线的交点，垂心为三角形三条高线的交点，都有“垂” ， 必平行。M H OCBA 解：如上图H OH OOOOC 2OMABCAABCBuuu ruuu ruuu rVuuu ruuu ruuu u rV在中，在中，OMuuu u rQ又HAuuu rOH OAuuuu ruuu r即（）OOCBuuu ruuu r（）OH OOOCABuuu ruuu ruuu ruuu r存在唯一的实数满足（）整理为： OH OOOCABuuu ruuu ruuu ruuu r由已知OHmOOOCABuuu ru

9、uu ruuu ruuu r（）OHmOmOmOCABuuu ruuu ruuu ruuu r由 可得，m=1这种解法没有直接去求解 m，而是利用向量共线定理引入参数，通过比较 得到的 四、利用“待定系数法”求解平移向量设函数其中向量( )()f xa bcrrrg(sin , cos ),axxr(sin , 3cos ),bxxr，( cos ,sin )cxx rxR（1）求函数 f(x)的最大值和最小正周期。（2）将函数 y=f(x)的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，du r求长度最小的du r分析：第一问主要考察向量数量积的坐标运算，可得，很容3( )22sin(2)4f xx易得到 T=,f(x)的最大值为22（3）设所求的平移向量（m,n）du r所以，y=f(x)按向量（m,n）可得du r322sin2()4ynxm整理为32sin(22)24yxmn因为 此函数的图象关于原点成中心对称所以，此函数为奇函数所以，n=-2 ,32,4mkkZ所以 3,82kmkZ，3(, 2)82kdu rkZ，234()82kdu rkZk=1 时，最小du r所以 du r(, 2)8待定系数法结合方程思想，将向量的运算和代数的运算结合起来，使得向量及其向 量的运算学习、应用起来并不感到生疏，也正体现了数学灵魂的博大精深。