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1、1习 题 一1. 用列举法表示下列集合: (1)1 到 100 之间的自然数的集合; (2)小于 5 的正整数集合; (3)偶自然数的集合; (4)奇整数的集合.解:(1) (2) ,A , , ,1 2 3100LB , , , 1 2 3 4(3) , (4) .0,2, 4, 6,8,C LD , , , ,LL531 1 3 52. 用描述法表示下列集合: (1)偶整数的集合;(2)素数的集合; (3)自然数的整数幂的集合.a解:(1) 2整除的整数被是能xxE (2) 11数和自身整除的整且只能被是大于xxP (3) 是整数是自然数,naaAn3. 设请判断下面的写法正确与否:,1
2、, 4 , 3,4,3 , 2aRaS(1)(2)Sa Ra (3)(4)Sa3 , 4,Ra4 , 3 , 1,(5)(6)SR Sa (7)(8)Ra R(9)(10)ERaS(11)(12)R4,3解:(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错; (5) 错; (6) 对; (7) 错; (8) 对; (9) 对; (10) 错; (11)错; (12) 对. 4. 设、和为任意三个集合. 以下说法是否正确? 若正确则证明之, 否则举反例说明.ABC (1)若且,则;BACB CA(2)若且,则;BACB CA (3)若且,则;BA CBCA(4)若且,则BA CBCA 解:(
3、1) 正确。因,所以,对任何均有,今,故。BCxBxCABAC(2) 错误。例如,令。ABC , , , , , 11212 3(3) 错误。例如,令 。ABC , , , , 11 21 2(4) 错误。例如,令 。ABC , 115. 设是集合且.是集合吗? 请证明你的结论.SSPSS P解:假设是集合。于是,P (1) 若,则由的定义,有;PPPP (2) 若,则由的定义,有。PPPP总之,有 当且仅当 。此为矛盾。故不是集合。PPPPP 6设.试求下列集合:3 , 4,5 , 4 , 1,3 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1CBAE2(1);(2);BAICBAUI)((3)
4、;(4);)(BAIBA U(5);(6);CBA)()(CBA(7);(8)CBA)()()(CBBA解: (1) (2) ; (3) ; AB ;3() , , ABC 1 2 5(AB) , , , 2 3 4 5(4) ; (5) (6) AB , , , 2 3 4 5();ABC ABC() ;3(7) (8) .() ;ABC 5()() , ABBC 1 47. 设、和为任意三个集合,以下说法是否正确?若正确则证明之,否则举反例说明.ABC (1)若,则;CABAUUCB (2)若,则;CABAIICB (3)若,则;CABACB (4)若,则或;CBAUBA CA (5)若,
5、则或ACBIAB AC 解:(1) 错误。例如,令;ABC , , , 11 22(2) 错误。例如,令;ABC , , 123(3) 对。若,不妨设。于是,BCxBxC而(i) 若,则,但 ;xAxABxAC (ii) 若,则,但 。xAxABxAC此与矛盾。故结论成立。ABAC (4)错。例如,令;1,2,1,2ABC(5)错。例如,令2,1,2,2,3ABC8. 设、和是任意三个集合,试证明:ABC (1)当且仅当;BA BA (2);ABBA (3);)()(CBACBA(4);)()()(CABACBAIII(5) )()()(CABACBAUUU解:(1) 设。于是。反之,设。AB
6、ABABABAA ()()AB 若,则不妨设。于是,从而。ABxAxB而xABxAB,而AB 此为矛盾。故。 AB (2) 。ABABABBABABA()()()()(3) 左式=()ABC=()()ABBAC=()()ABBAC=()()()()ABBACABBAC=()()()()ABBACABBAC=()()()()ABAABBCABCABC3=()()()()ABABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC右式=ABC()=ABCBC()()=()()()()ABCBCABCBC=()()()()()ABACBCABCBC= ()()()()()()ABBCACBCAB
7、CBC=()()()()ABCABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC=左式 (4) 证明:ABC ABCCBABCCBABCABCABAC ABACACABABACACABABACACABABCABC () ()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()()而因此,ABCABAC()()()(5) 证明:取且于是,从而,但因此,AAB ACABCBCABCAABACAAABCABAC ,.,().()().()()().9. 设,试确定以下集合:3 , 2,2 , 1BA(1);(2);(3)BA 1BA 22)(AB解:AB ,
8、, , , ,11 1 21 1 32 1 22 1 3AB AAB21 121 131 221 232 122 132 222 23 1 1 21 1 31 2 21 2 32 1 22 1 32 2 22 2 3 () , , , , , , , , , , BA ,2 12 23 13 2()()(),BABABA 22 12 12 12 22 13 12 13 22 22 12 22 22 23 12 23 23 12 13 12 23 13 1 ,313 23 22 13 22 23 23 13 23 2410. 证明:若,则.BBAABA 解:因为 ,xAiffx xAAiffx
9、xBBiffxB,所以,。当时,ABBBAB11. 证明:若,且,则.CABAACB 解:任取,因,所以存在,使,从而。yBA xAx yAB,x yAC,因此,即。同理可证。故。yCBCCBBC12. 设为任意元素,令yx, ,yxxyx试证明:当且仅当.,uyxyux,解:设,即 。x yu v, , , , , xx yuu v(1) 若 ,则有 ; , , , xux yu vxuyv,(2) 若 ,则有 。 , , , xu vx yuxyuv反之,设,则由定义有 。xuyv,x yu v,13. 将三元有序组定义为合适吗?为什么?zyx,zyxyxx解:不合适。例如,由定义,1 2 111 21 2 111 2, , , , , , , , , 而 1 1 211 11 1 211 2, , , , , , , , , 但显然。1 2 11 1 2, , ,