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1、总习题九1 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论 (1)设有空间闭区域1(x y z)|x2y2z2R2 z0 2(x y z)|x2y2z2R2 x0 y0 z0 则有_ (A) (B) xdvxdv214 ydvydv214 (C) (D) zdvzdv214 xyzdvxyzdv214 解 (C) 提示 f(x y z)x 是关于 x 的奇函数 它在关于 yOz 平面对称的区域1上的 三重积分为零 而在2上的三重积分不为零 所以(A)是错的 类似地 (B)和(D) 也是错的f(x y z)z 是关于 x 和 y 的偶函数 它关于 yOz 平面和 zOx 面都对称的区 域1上的三重
2、积分可以化为1在第一卦部分2上的三重积分的四倍 (2)设有平面闭区域 D(x y)|axa xya D1(x y)|0xa xya 则 _ dxdyyxxyD)sincos( (A) (B) (C) (D)0ydxdyxDsincos21 xydxdyD12 ydxdyxDsincos41 解 (A) 2 计算下列二重积分 (1) 其中 D 是顶点分别为(0 0) (1 0) (1 2)和(0 1)的梯形ydxDsin)1 ( 闭区域 解 积分区域可表示为 D(x y)|0x1 0yx1 于是 101010)1cos(1)1 (sin)1 (sin)1 (dxxxydydxxydxxD 2si
3、n22cos1sin1cos23(2) 其中 D(x y)|0ysin x 0x dyxD)(22 解 032sin022 022)sin31sin()()(dxxxxdyyxdxdyxxD 9402(3) 其中 D 是圆周 x2y2Rx 所围成的闭区域 dyxRD222 解 在极坐标下积分区域 D 可表示为 cos0 ,22R于是 ddRdyxRDD22222 22cos023 22cos02222)(31dRdRdrR 32 0332233) 43 (91)sin1 (32|)sin|1 (3RdRdR(4) 其中 D(x y)|x2y2R2 dyxyD) 963(2 解 因为积分区域 D
4、 关于 x 轴、y 轴对称 所以 063 ydxdDD 2999RddDD 因为 dyxdxdyDDD)(212222 所以 dyxRdyxyDD)(219) 963(2222 42 02202 49219RRddRR3 交换下列二次积分的次序 (1) )4(21440),(yydxyxfdy解 积分区域为 )4(214 , 40 | ),(yxyyyxD并且 D 又可表示为D(x y)|2x0 2x4yx24 所以 44202)4(214402 ),(),(xxyydyyxfdxdxyxfdy(2) yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(解 积分区域为D(x y)|0y
5、1 0x2y(x y)|1y3 0x3y 并且 D 又可表示为 321, 20 | ),(xyxxyxD所以 xxyydyyxfdxdxyxfdydxyxfdy3212030312010),(),(),(3) 21110),(xxdyyxfdx解 积分区域为 11 , 10 | ),(2xyxxyxD并且 D 又可表示为 20 , 21 | ),(0 , 10 | ),(22yyxyyxyxyyxD所以 22220210101110),(),(),(yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdx4 证明 axamyxamadxxfexadxxfedy0)( 0)( 0)()()(证明 积
6、分区域为D(x y)|0ya 0xy 并且 D 又可表示为D(x y)|0xa xya所以 axamaxxamayxamadxxfexadyxfedxdxxfedy0)()( 00)( 0)()()()(5 把积分表为极坐标形式的二次积分 其中积分区域 D(x dxdyyxfD),( y)|x2y1 1x1 解 在极坐标下积分区域可表示为 DD1D2D3 其中 sectan0 ,40 :1D csc0 ,43 4:2D sectan0 ,43:3D所以 sectan04 0)sin,cos(),(dfddxdyyxfDcsc0434)sin,cos(dfd sectan043)sin,cos(
7、dfd6 把积分化为三次积分 其中积分区域是由曲面dxdydzzyxf),( zx2y2 yx2及平面 y1 z0 所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 0zx2y2 x2y1 1x1 所以 2220111),(),(yxxdzzyxfdydxdxdydzzyxf7 计算下列三重积分 (1) 其中是两个球 x2y2z2R2和 x2y2z22Rz(R0)的公共dxdydzz2 部分 解 两球面的公共部分在 xOy 面上的投影222)23(Ryx在柱面坐标下积分区域可表示为 2222,230 ,20 :RRzRRR所以 22222230202RRRRdzzdddxdydzz 523032223 2
8、2 48059)()(312RdRRRR(2) 其中是由球面 x2y2z21 所围成的闭区域 dvzyxzyxz 1) 1ln( 222222 解 因为积分区域关于 xOy 面对称 而被积函数为关于 z 的奇函数 所以 01) 1ln( 222222 dvzyxzyxz(3) 其中是由 xOy 面上曲线 y22x 绕 x 轴旋转而成的曲面dvzy)(22 与平面 x5 所围成的闭区域 解 曲线 y22x 绕 x 轴旋转而成的曲面的方程为 y2z22x 由曲面 y2z22x 和平面 x5 所围成的闭区域在 yOz 面上的投影区域为 222)10( :zyDyz在柱面坐标下此区域又可表示为 521
9、,100 ,20 :2xDyz所以 52121002022 2)(dxdddvzy 3250)215 (210023d8 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积 1cz by ax解 平面的方程可写为 所割部分在 xOy 面上的投影区域为ybcxaccz 0 , 0 , 1| ),(yxby axyxD于是 dxdybc acdxdyyz xzADD2222221)()(1 222222221211bc acabdxdybc acD 9 在均匀的半径为 R 的半圆形薄片的直径上 要接上一个一边与直径等 长的同样材料的均匀矩形薄片 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上 问接上去的均匀矩形薄片另
10、一边的长度应是多少？解 设所求矩形另一边的长度为 H 建立坐标系 使半圆的直径在 x 轴上 圆心在原点 不妨设密度为1g/cm3 由对称性及已知条件可知 即0 yx 0 ydxdyD从而 022 xRHRRydydx即 0)(21223RRdxHxR亦即 031223RHRR从而 RH32因此 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为 R3210 求曲抛物线 yx2及直线 y1 所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于 直线 y1 的转动惯量 解 抛物线 yx2及直线 y1 所围成区域可表示为D(x y)|1x 1 x2y1 所求转动惯量为 105368) 1(8 31) 1() 1(113212112
11、 2 dxxdyydxdxdyyIxD11 设在 xOy 面上有一质量为 M 的匀质半圆形薄片 占有平面闭域 D(x y)|x2y2R2 y0 过圆心 O 垂直于薄片的直线上有一质量为 m 的质点 P OPa 求半圆形薄片对质点 P 的引力 解 设 P 点的坐标为(0 0 a) 薄片的面密度为 22221RMRM 设所求引力为 F(Fx Fy Fz) 由于薄片关于 y 轴对称 所以引力在 x 轴上的分量 Fx0 而 RDydadGmdayxymGF02/ 322202/ 3222)(sin )(RRdaGmdadGm02/ 322202/ 32220)(2)(sin )(ln4 22222RaR aRaR RGmM RDzdadGamdayxamGF02/ 322202/ 3222)()( )1 (2 )(22202/ 3222Raa RGmMdaGamR
