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1、1第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1设设,TTTvvv)0, 4, 3(,)1, 1, 0(,)0, 1, 1(321 求求及及.21vv 32123vvv 解解 21vv TT)1, 1, 0()0, 1, 1( T)10, 11, 01( T)1, 0, 1( 32123vvv TTT)0, 4, 3()1, 1, 0(2)0, 1, 1(3 T)01203, 41213, 30213( T)2, 1, 0( 2设设其中其中,)(5)(2)(3321aaaaaa Ta)3 , 1 , 5 , 2(1 ,求求Ta)10, 5 , 1 ,10(2 Ta)1 , 1, 1 ,
2、4(3 a解解 由由整理得整理得)(5)(2)(3321aaaaaa )523(61321aaaa )1 , 1, 1 , 4(5)10, 5 , 1 ,10(2)3 , 1 , 5 , 2(361TTT T)4 , 3 , 2 , 1( 3举例说明下列各命题是错误的举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组若向量组是线性相关的是线性相关的,则则可由可由线性表示线性表示.maaa,21L1a,2maa L(2)若有不全为若有不全为 0 的数的数使使m ,21L 01111 mmmmbbaa LL成立成立,则则线性相关线性相关, 亦线性相关亦线性相关.maa,1Lmbb,1L(3)若只有当若只
3、有当全为全为 0 时时,等式等式m ,21L 01111 mmmmbbaa LL才能成立才能成立,则则线性无关线性无关, 亦线性无关亦线性无关.maa,1Lmbb,1L(4)若若线性相关线性相关, 亦线性相关亦线性相关,则有不全为则有不全为 0 的数的数,maa,1Lmbb,1L 使使m ,21L0, 01111 mmmmbbaa LL 同时成立同时成立. 解解 (1) 设设)0 , 0 , 0 , 1(11L ea 032 maaaL满足满足线性相关线性相关,但但不能由不能由线性表示线性表示.maaa,21L1a,2maa L(2) 有不全为零的数有不全为零的数使使m ,21L201111
4、mmmmbbaa LL 原式可化为原式可化为 0)()(111 mmmbaba L取取mmmbeabeabea ,222111L其中其中为单位向量为单位向量,则上式成立则上式成立,而而mee,1L,均线性相关均线性相关maa,1Lmbb,1L(3) 由由 (仅当仅当)01111 mmmmbbaa LL01 m L 线性无关线性无关mmbababa ,2211L取取021 maaaL取取为线性无关组为线性无关组mbb,1L满足以上条件满足以上条件,但不能说是但不能说是线性无关的线性无关的.maaa,21L(4) Ta)0 , 1(1 Ta)0 , 2(2 Tb)3 , 0(1 Tb)4 , 0(
5、2 与题设矛盾与题设矛盾. 21221121221143020 bbaa 021 4设设,证明向量组证明向量组144433322211,aabaabaabaab 线性相关线性相关.4321,bbbb证明证明 设有设有使得使得4321,xxxx 则则044332211 bxbxbxbx 0)()()()(144433322211 aaxaaxaaxaax 0)()()()(443332221141 axxaxxaxxaxx(1) 若若线性相关线性相关,则存在不全为零的数则存在不全为零的数,4321,aaaa4321,kkkk ;411xxk 212xxk 323xxk 434xxk 由由不全为零
6、不全为零,知知不全为零不全为零,即即线性相线性相4321,kkkk4321,xxxx4321,bbbb 关关.(2) 若若线性无关线性无关,则则011000110001110014321 xxxx4321,aaaa 000043322141xxxxxxxx3由由知此齐次方程存在非零解知此齐次方程存在非零解01100011000111001 则则线性相关线性相关.4321,bbbb 综合得证综合得证.5设设,且向量组且向量组rraaabaabab LL2121211, 线性无关线性无关,证明向量组证明向量组线性无关线性无关.raaa,21Lrbbb,21L证明证明 设设则则02211 rrbkb
7、kbkL prprrakkakkakk)()()(2211LLLL0 rrakL因向量组因向量组线性无关线性无关,故故raaa,21L 000221rrrkkkkkkLLLLLLLL 0001001101121MMLMLLMLLLrkkk因为因为故方程组只有零解故方程组只有零解0110011011 LMLLMLLL则则所以所以线性无关线性无关021 rkkkLrbbb,21L6利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ; (2) . 4820322513454947513253947543173125 140113130215
8、12012211解解 (1) 482032251345494751325394754317312514131233 rrrrrr 5310531032104317312542334 rrrr 00003100321043173125所以第所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组列构成一个最大无关组.(2) 1401131302151201221114132 rrrr 22200151201512012211，4323 rrrr 00000222001512012211所以第所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组列构成一个最大无关组7求下列向量组的秩求下列向量组的秩,并求一个最大无关组并求一个
9、最大无关组:(1) ,; 41211a 41010092a 82423a(2) ,.)3 , 1 , 2 , 1(1 Ta)6, 5, 1, 4(2 Ta)7, 4, 3, 1(3 Ta解解 (1) 线性相关线性相关.3131,2aaaa 由由 824241010094121321TTTaaa 000032198204121 秩为秩为 2,一组最大线性无关组为一组最大线性无关组为.21,aa(2) 743165143121321TTTaaa 10550189903121 0000189903121 5秩为秩为 2,最大线性无关组为最大线性无关组为.TTaa21,8设设是一组是一组维向量维向量,已知已知维单位坐标向量维单位坐标向量naaa,21Lnn 能能neee,21L由它们线性表示由它们线性表示,证明证明线性无关线性无关.naaa,21L证明证明 维单位向量维单位向量线性无关线性无关nneee,21L 不妨设不妨设:nnnnnnnnnnakakakeakakakeakakake LLLLLLLLLLLLLLL22112222121212121111所以所以
