《第5章 杆件横截面剪应力分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章 杆件横截面剪应力分析（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1eBook eBook 材 料 力 学 材 料 力 学 (5) 主 编 范钦珊 编 著 章梓茂 殷雅俊 范钦珊 主 编 范钦珊 编 著 章梓茂 殷雅俊 范钦珊 2004-12-18 范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin-Shans Education & Teaching StudioFAN Qin-Shans Education & Teaching Studio 2第第 5 章章 弹性杆件横截面上的剪应力分析弹性杆件横截面上的剪应力分析 51 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 52 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 5
2、3 薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流与弯曲中心薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流与弯曲中心 54 薄壁截面梁的弯曲剪应力公式推广应用到实心截面梁薄壁截面梁的弯曲剪应力公式推广应用到实心截面梁 55 基于最大剪应力的强度计算基于最大剪应力的强度计算 56 结论与讨论结论与讨论 习题习题 3图 52 剪应力互等定理 基础篇之五 基础篇之五 第第 5 章章 弹性杆件横截面上的剪应力分析弹性杆件横截面上的剪应力分析 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩()xM或剪力（QyF或QzF）时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为剪应力
3、。 本章将分析两种剪应力： 受扭圆轴横截面上的剪应力与承受弯曲杆件横截面 上的剪应力。这两种剪应力的分析方法不完全相同。 分析圆轴扭转时横截面上的剪应力仍然需要借助于平衡、 变形协调与物性关 系，其过程与正应力分析相似。分析弯曲引起的剪应力，在假设纯弯正应力公式 依然适用的前提下，则仅仅需要应用平衡的方法。 51 剪应力互等定理 剪切胡克定律 剪应力互等定理 剪切胡克定律 工程上将传递功率的构件称为轴(shaft)，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线 转动的外扭转力偶作用时(图 51)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。 511 剪应力互等定理剪应力互等定理 考查承受剪应力作用的微元体（
4、图 52） ，假设 作用在微元左、右面上的剪应力为 ，这两个面上的 剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成 一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然 存在剪应力，二者与其作用面积相乘后形成一对 力，组成另一力偶，为保持微元的平衡这两个力偶的 力偶矩必须大小相等、方向相反。 于是，根据微元的平衡条件有 0,( d d )d( d d )d0My zxx zy= 由此解得： = (51) 图 51 承受扭转的轴 4这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直 于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理剪应力互等定理（p
5、airing principle of shear stresses） 。 微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯 剪应力状态纯 剪应力状态（stress state of the pure shear） 。 512 剪切胡克定律剪切胡克定律 通过扭转试验，可以得到剪应力 与剪应变 之间的关系曲线（图 53） 。其中直线段 剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用p 表示。 曲线的直线段表明，当剪应力小于或等于比例极限p时，剪应力与剪应变成正比， 直线段的剪应力与剪应变关系为： Gr= 在第 3 章中曾经提到，各向同性材料的两个弹性常数杨氏模量 E 与泊松比 v
6、，可以 证明 E、v 与 G 之间存在以下关系： 2(1)EGv=+(52) 这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。 52 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 本节应用平衡、变形协调以及物性关系分析圆轴扭转时横截面上的剪应力。 521 平面假定与剪应变分布规律平面假定与剪应变分布规律 圆轴受扭前，在其表面画上小方格图 54(a)，受扭后，圆轴的两端面相对转动了一 角度图 54(b)，而相距 dx 的两相邻圆周线，刚性地绕轴线相对转动了一角度，因相对转 动角度很小，故可认为相邻圆周线间的距离不变。 根据圆轴受扭后表面变形特点，假定：圆轴受扭发生变形时
7、，其横截面保持平面，并 刚性地绕轴线转动一角度， 两相邻截面的轴向间距保持不变。 这一假定称为平面假定平面假定 （plane assumption） 。 根据平面假定，两轴向间距为 dx 的截面 mm 与 nn 相对转角为 d图 54(c)。 考查两相邻横截面之间微元 ABDC 的变形：AB 长为 dx，扭转后由于相对转动，圆轴 表面上的 B 点移动到 B： 图 53 剪应力与剪应变曲线 5图 54 圆杆扭转的变形 dBBR =， 于是微元 ABCD 的剪应变为： dd ddBBRRxxAB= 根据平面假定，距轴心 O 为 处同轴柱面上微元 A1B1D1C1的剪应变为： ( )1111dd d
8、dB B xxAB = (53) 式中，ddx为扭转角沿轴线 x 方向的变化率，对某一 x 处的横截面，ddx为常量。因此式（53）表明：圆轴扭转时，横截面上某点处的剪应变与其到横截面中心的距离成正比，亦即 剪应变沿半径方向线性分布。 522 横截面上的剪应力分布横截面上的剪应力分布 根据横截面上的剪应变分布表达式（53） ，应用剪切胡克定律得到： d dGrGx= (54) 式（54）表明：圆轴扭转时横截面上任意点处的剪应力 与该点到截面中心的距离 成正比。由于剪应变 与半径垂直，因而剪应力作用线也垂直于半径（图 55a） 。根据剪 应力互等定理，轴的纵截面上也存在剪应力，其分布如图 55b
9、 所示。 图 55 圆轴扭转时横截面与纵截面上的剪应力分布 由于式（55）中的d dx尚为未知，因而不能用以计算剪应力，为了确定未知量d dx，需要应用静力学关系。 6523 圆轴扭转时扭转角变化率以及横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时扭转角变化率以及横截面上的剪应力表达式 作用于横截面上的剪应力与其作用面积相乘，然后向截面形心简化，得到一力偶，这 一力偶的力偶矩即为横截面上的扭矩。于是，有下列静力学关系： (d )xAAM=(55) 图 56 圆轴扭转时横截面上剪应力与扭矩之间的静力学关系 取半径为、厚度为 d 的圆环作为微元，微元面积d2dA=（图 56b） 。将（54）代入（55） ，积分
10、后得到扭转角变化率的表达式： Pd dxM xGJ= (56) 其中 2 Pd AIA= (57) 为与截面形状和尺寸有关的几何量，即为截面对形心 O 的极惯性矩极惯性矩。式（56）中 GIP 称 为圆轴的扭转刚度扭转刚度（torsional rigidity） 。 将式（56）代入式（54） ，即可得到圆轴扭转时横截面上剪应力表达式： ( )PxM I = (58) 式中，Mx为横截面上的扭矩，由截面法确定； 为所求应力点到截面形心的距离；I p 为横 截面的极惯性矩。 根据式(58)，圆截面和圆环截面上的剪应力分布如图 57a 所示。 图 57 圆截面和圆环截面上的剪应力分布 根据式（57
11、）,由积分可以算得直径为 d 的圆截面极惯性矩 I p： 4P 32dI = (519) 7式中，d 是圆截面直径。 对于内、外径分别是 D、d 的圆管截面或圆环截面（空心圆轴） ，极惯性矩 I p为： ()44P1,32DdID= (5110) 524 最大剪应力与扭转截面模量最大剪应力与扭转截面模量 根据横截面上的剪应力分布，圆轴扭转时横截面上的最大剪应力发生在横截面边缘上 各点，并且沿着截面周边的切线方向。根据式(58)，最大剪应力由下式计算： max max PPxxMM IW= (511) 其中 P P maxIW= (512) 称为扭转截面模量扭转截面模量（section modu
12、lus in torsion） 。对实心轴和空心轴，扭转截面模量分别为 3P 16dW = (513) ()34P116DW= (514) 【例题【例题 51】 图 58 所示传动机构中,功率从轮B输入，通过锥形齿轮将其一半传递给铅垂C轴,另一半传递给水平H轴。已知输入功率114kWP=,水平轴()EH和转速12120r/mmnn=；锥齿轮A和D的齿数分别为1336,12zz=；各轴的直径分别为12370 mm,50 mm,35 mmddd=。试确定：各轴横截面上的最大剪应力。 图 58 例题 51 图 解：解：(1) 各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 123114 kW,/27 kW
13、PPPP= 转速分别为 812120r/minnn= 1 31 336120r/min360r/min12znnz=据此,算得各轴承受的扭矩： 1e12e23e3149549N m1114 N m12079549N m557 N m12079549N m185.7 N m360xxxMMMMMM=(2) 计算最大剪应力 .E H C轴横截面上的最大剪应力分别为 1 max39 p116 1114( )Pa 7010xMEW=616.54 10 Pa16.54 MPa= 2 max39 p216 557()Pa 5010xMHW=622.69 10 Pa22.69 MPa= 3 max39 p3
14、16 185.7( )Pa 3510xMCW=621.98 10 Pa21.98 MPa= 【例题例题 52】由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G12G2。圆轴尺寸如图59中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关 于横截面上的剪应力分布，有图中 A、B、C、D 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 解：解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转 变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直 线，但要相对于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的切变模量图 59 例题 52 图 9大于外层（圆环截面）的切变模量（G12G2） ，所以内层在二者交界处的剪应力一定大于
