《切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段》由会员分享，可在线阅读，更多相关《切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段九年级数学同步辅 2009-06-29 23:12:37 阅读 105 评论 0 字号：大中小 订阅 切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段 学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度， “切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切
2、线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线 AB 切O 于 P，PC 、 PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角， “线”切线的性质定理及切线长定理。7. 与圆有关的比例线段定理 图形 已知 结论 证法相交弦定理O 中，AB、CD 为弦，交于 PPAPBPCPD 连结 AC、BD ，证：APC DPB2相交弦定理的推论O
3、 中，AB 为直径，CDAB 于PPC2PAPB 用相交弦定理切割线定理O 中，PT 切O 于 T，割线PB 交 O 于 APT2PAPB 连结 TA、TB，证：PTBPAT切割线定理推论PB、PD 为O 的两条割线，交O 于 A、CPAPBPCPD 过 P 作 PT 切O于 T，用两次切割线定理圆幂定理O 中，割线 PB交O 于 A，CD为弦PCPDr2 OP2PAPBOP2r2r 为O 的半径延长 PO 交O 于M，延长 OP交O 于 N，用相交弦定理证；过 P 作切线用切割线定理勾股定理证8. 圆幂定理：过一定点 P 向O 作任一直线，交O 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积为
4、常数| |（R 为圆半径） ，因为 叫做点对于O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例 1. 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。图 1解：由切线长定理知：AFAB1，EFCE3设 CE 为 x，在 RtADE 中，由勾股定理 ， ，例 2. O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm 。图 2解：由相交弦定理，得AEBECEDEAE6cm，BE2cm ，CD7cm ， ，即CE3cm 或 CE4cm 。故应
5、填 3 或 4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例 3. 已知 PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则 _。解：PPPAC B，PAC PBA， ， 。4又PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，由切割线定理，得 ，即 ，故应填 PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例 4. 如图 3，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B两点，如果 PA：PB1：4，PC12cm，O 的半径为 10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是_cm。图 3解：PC 是O 的切线，PAB 是O 的割线，且 PA：PB 1：4PB
6、4PA又PC 12cm由切割线定理，得 ，PB 4624（cm ）AB24618（cm）设圆心 O 到 AB 距离为 d cm，由勾股定理，得故应填 。例 5. 如图 4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D， （1）求证：5；（2）若 ABBC2 厘米，求 CE、CD 的长。图 4点悟：要证 ，即要证CEDCBE。证明：（1）连结 BE（2）。又 ， 厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例 6. 如图 5，AB 为O 的直径，弦 CDAB，AE 切O 于 A，交 CD 的延长线于 E。
7、图 5求证：证明：连结 BD，AE 切O 于 A，6EAD ABDAEAB，又 ABCD，AECDAB 为O 的直径ADB90EADB90ADE BADCDABADBC， 例 7. 如图 6，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证：ADBCCDAB图 6点悟：由结论 ADBCCDAB 得 ，显然要证PADPBA 和PCD PBC证明：PA 切O 于 A，PAD PBA又APD BPA，PAD PBA同理可证PCDPBCPA、PC 分别切O 于 A、CPAPC7ADBC DCAB例 8. 如图 7，在直角三角形 ABC 中，A 90，以 AB 边为直径作O ，交斜边 BC于点 D，过
8、 D 点作O 的切线交 AC 于 E。图 7求证：BC2OE 。点悟：由要证结论易想到应证 OE 是ABC 的中位线。而 OAOB，只须证 AECE。证明：连结 OD。ACAB ，AB 为直径AC 为O 的切线，又 DE 切O 于 DEAED ，ODDEOBOD，BODB在 RtABC 中，C90BODE 90 CEDCEDECAEECOE 是ABC 的中位线BC2OE例 9. 如图 8，在正方形 ABCD 中，AB1， 是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作 所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点
9、。当DEF45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；8图 8解：由DEF45，得，DFEDEFDEDF又ADDCAEFC因为 AB 是圆 B 的半径， ADAB，所以 AD 切圆 B 于点 A；同理，CD 切圆 B 于点C。又因为 EF 切圆 B 于点 G，所以 AEEG，FCFG 。因此 EGFG，即点 G 为线段 EF 的中点。【模拟试题】 （答题时间：40 分钟）一、选择题1. 已知： PA、PB 切O 于点 A、B ，连结 AB，若 AB8，弦 AB 的弦心距 3，则PA（ ）A. B. C. 5 D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（ ）A. 平行四边形 B. 矩形C. 菱形 D.
10、 梯形3. 已知：如图 1 直线 MN 与O 相切于 C，AB 为直径，CAB40，则MCA 的度数（ ）图 1A. 50 B. 40 C. 60 D. 554. 圆内两弦相交，一弦长 8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为 1：4，则另一弦长为（ ）A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5. 在ABC 中，D 是 BC 边上的点，AD ，BD3cm，DC4cm，如果 E 是AD 的延长线与ABC 的外接圆的交点，那么 DE 长等于（ ）A. B. C. D. 6. PT 切O 于 T，CT 为直径， D 为 OC 上一点，直线 PD 交O 于 B 和 A，B 在线段 P
11、D上，若 CD2，AD3，BD4，则 PB 等于（ ）9A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题7. AB、CD 是O 切线，ABCD，EF 是O 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F，则EOF_度。8. 已知：O 和不在O 上的一点 P，过 P 的直线交O 于 A、B 两点，若PAPB24，OP5，则O 的半径长为_ 。9. 若 PA 为O 的切线，A 为切点， PBC 割线交O 于 B、C ，若BC20， ，则 PC 的长为_。10. 正ABC 内接于O， M、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交O 于点 D，连结BD 交 AC 于 P，则 _。三、解答题11. 如
12、图 2，ABC 中，AC2cm ，周长为 8cm，F、K、N 是ABC 与内切圆的切点，DE 切O 于点 M，且 DEAC，求 DE 的长。图 212. 如图 3，已知 P 为O 的直径 AB 延长线上一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，求证：CB 平分DCP 。图 313. 如图 4，已知 AD 为O 的直径，AB 是O 的切线，过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C，且 BMMNNC，若 AB ，求O 的半径。10图 411【试题答案】一、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空题7. 90 8. 1 9. 30 10. 三、解答题：11. 由切线长定理得BDE 周长为 4，由BDEBAC，得 DE1cm12. 证明：连结 AC，则 ACCBCDAB ，ACB CDB ，A1PC 为O 的切线，A2，又12，BC 平分DCP13. 设 BMMNNCxcm又又OA 是过切点 A 的半径，OAAB 即 ACAB在 RtABC 中，由勾股定理，得，由割线定理： ，又半径为 。
