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1、第 2 章極限 (Limits)目錄2.1極限的直觀 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.2單側, 在無限遠之極限及無窮極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.3極限的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.4極限之綜合例題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.5
2、極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.6漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.7連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.8中間值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27(1)
3、 介紹極限的直觀意義(2) 介紹各種極限的定義, 及一些計算技巧(3) 圖形之漸近線(4) 函數的連續性及中間值定理2.1極限的直觀變化率定義 2.1.1. y = f(x) 在 x x1,x2 上的平均變化率(average rate of change) 為y x= f(x2)f(x1) x2x1=f(x1+h)f(x) h,h = x2 x1。例 2.1.2. 一顆球從 450 公尺高的 CN 塔上放下,(1) 求它在前 5 秒的平均速度。(2) 求它在第 5 秒到第 6 秒間的平均速度。(3) 求它在第 5 秒的速度。例 2.1.3. 討論拋物線 y = x2在點 P(1,1) 之切線
4、的斜率。17第 2 章 極限2.1 極限的直觀極限的直觀例 2.1.4. (1) 討論 f(x) =3x+4 x+5在 x = 2 附近的行為。(2) Heaviside 函數定義為 H(t) =0if t 0。例 2.1.7. 由圖形猜測以下各極限值:(1) limt0t2+93t2,(2) limx0sinx x,(3) limx0sin x。微積分講義, 18第 2 章 極限2.2 單側, 在無限遠之極限及無窮極限2.2單側, 在無限遠之極限及無窮極限(一) 單側極限 (One-Sided Limits)例 2.2.1. 函數 g(x) 如圖。 討論以下各極限: (a) lim x2g(
5、x), (b) lim x2+g(x), (c) limx2g(x), (d) lim x5+g(x), (e) lim x5g(x), (f) limx5g(x) 。例 2.2.2. (1) g(x) = x 4if x 4; 8 2xif x 0 。註 只要極限值 L,M 存在, 此定理對 ”單側極限” 及 ”在無限遠的極限” 均成立。例 2.3.2. 在右圖中, 求 (1) limx2f(x) + g(x), (2) limx1f(x)g(x), (3) limx2f(x) g(x)。例 2.3.3. (1) 若 p(x) = anxn+ an1xn1+ + a1x + a0, 則 li
6、mxap(x) = p(a) 。(2) 若P(x) Q(x)為有理式, 且 Q(a) 6= 0, 則 limxaP(x) Q(x)=P(a) Q(a)。例 2.3.4. 求 limx2q x3+2x21 53x。例 2.3.5. 求極限:(1) limx5x2+8x3 3x2+2,limx5x2+8x3 3x2+2。(2) limx11x+1 2x31, limx11x+1 2x31。(3) limx3x4x2 5x2+4x+1, limx3x4x2 5x2+4x+1。(4) limx3x3x2 5x2+4x+1, limx3x3x2 5x2+4x+1。三明治定理定理 2.3.6. (1) 令
7、 c (a,b)。 若 f(x) g(x),x a,b,x 6= c, 且以下極限均存在, 則 limxcf(x) limxcg(x)。(2) 三明治定理, 夾擊定理 (Sandwich Theorem, Squeeze Theorem) 若 g(x) f(x) h(x),x a,b,x 6= c, 且 limxcg(x) = limxch(x) = L, 則 limxcf(x) = L。註 2.3.7. 在 (1) 中, 若 f(x) 0, 0 使得 0 0, 0 使得 a 0, 0 使得 a 0,M 使得 x M |f(x) L| 0,M 使得 x 0, 則 0, 使得 0 B, 稱為在
8、x 趨近 a 時, f(x) 的極限為無限大, 記為 limxaf(x) = 。(2) 若 B 0, 使得 0 0; 0x / Q,則:(1) f(x) 在有理點上不連續。(2) f(x) 在無理點上連續。2.8中間值定理 (Intermediate Value Theorem)定理 2.8.1. (中間值定理) 若 y = f(x) 在 a,b 上連續, 則對 f(a) 及 f(b) 間每一數均可取值。 即對任意介於 f(a) 及 f(b) 之間的 d, 皆存在 c a,b, 使得 f(c) = d。推論 2.8.2. (勘根定理) 若 f(x) 在 a,b 上連續, 且 f(a) 及 f(
9、b) 異號, 則存在 c (a,b), 使得 f(c) = 0。註. (1) 對不連續函數, 中間值定理不見得成立。例: 令 f(x) =x + 21 0, 但 f(x) = 0 無解。(2) 中間值定理只保證根的存在, 根的數目甚至可能有無限多。例: 令 f(x) =xsin1 xx 6= 0, 0x = 0 。在 2 3,2 上有無限多個 x, 滿足 f(x) = 0 。微積分講義, 27第 2 章 極限2.8 中間值定理例 2.8.3. 證明方程式 4x3 6x2+ 3x 2 = 0 在 1,2 之間有解。例 2.8.4. 奇數次多項式方程式必有實根。例 2.8.5. 證明曲線 y =
10、x3與 y = 3x + 1 必相交。例 2.8.6. 令 a,b 為正數, 證明方程式a x3+2x21+b x3+x2= 0 在 (1,1) 上至少有一根。例 2.8.7. 令 f(x) 為 a,b 上的連續函數, x1,x2,.,xn a,b。 證明必存在 c a,b, 使得 f(c) =f(x1)+f(x2)+f(xn) n。例 2.8.8. (固定點定理) 令 f(x) 為 0,1 對應到 0,1 的連續函數, 則必存在 c 0,1, 使得 f(c) = c 。例 2.8.9. 令 f(x) 為定義在 0,1 上的連續函數, 且 f(0) = f(1)。 若 n 為大於 1 的正整數, 則 必存在 c 0,1 1 n, 使得 f(c) = f(c +1 n) 。例 2.8.10. 平面上有界區域 K, 若其中任兩點的連線段仍在 K 中, 則稱為凸集合 (convex set), 。 現平面上有一直線 L 及一凸集合 K, 證明必存在一條與 L 平行之直線將 K 的面積二等分。例 2.8.11. 在地球的赤道上, 必有一對對徑點 (antipodal) , 其氣溫相等。例 2.8.12. 有一四腿等長之圓桌放在地面上, 此地面高低不平, 但為連續性起伏。 證明: 將此圓桌 順時針 (或逆時針) 至多轉 90, 必可使桌子平穩。微積分講義, 28
