《复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第七第八章课后的》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第七第八章课后的（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）1 / 10习题习题 七七1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为 奇函数时，则有 0dsin)()(tbtf其中 0tdtsin2)(tfb当f(t)为偶函数时，则有 0cos)()(tdwatf其中 02tdtcf(t)(osa证明：因为其中为f(t)dGtftie )(21)()(G的傅里叶变换( )( )( ) (cossin)i tGf t edtf ttit dt( ) cos( ) sinf ttdtif ttdt当f(t)为奇函数时，为奇函数，从而tcosf(t)0tdtcosf(t)为偶函数，从而tsinf
2、(t) 0.sinf(t)2tdtsinf(t)tdt故 有.sinf(t)2)( 0tdtiG为奇数。)()(GGdtitGdeGtfti)sin(cos)(21)(21)(= 01( )sind( ) sind2iGitGt所以，当 f(t)为奇函数时，有002( )b( ) sind .b( )=( ) sindt.f ttf tt其中同理，当 f(t)为偶函数时，有.其中 0( )( ) cosdf tat 02( )( ) cosaf ttdt2.在上一题中，设.计算( )f t 21, 0,1ttt的值.( )a解:1200111220012012011200222( )( ) c
3、osdcosd0 cosd 22 1cosdd(sin) 122sinsin2 d02 sin4(cos) 2sin4coscos 2sin4coaf tt ttt tt ttt ttttttt tt dttttdt 23s4sin 3.计算函数.sin ,6( )0,6t tf tt的傅里叶变换解: 6666602( )( )dsindsin(cossin)d2sinsindsin6 (1)i ti tF ff tett etttittitt ti 4.求下列函数的傅里叶变换(1) ( )tf te解： | |(| |)0(1)(1) 20F f ( )( )ddd2dd1i tti tti
4、 ttitif t eteetetetet(2)2( )tf tt e 解：因为22222/4F.()( 2 )2.tttteeeett e 而所以根据傅里叶变换的微分性质可得224( )F()2tGt eei(3)2sin( )1tf tt 解：复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）2 / 10222202200sin( )F( )( )d1 sin(cossin)d1 1cos()cos() sin sin2d2d11 cos(+ )cos(- )dd()11sin,|2 0,|i ttGfett ttitttttttitittt ttitittt i 利用留数定理当当|
5、. (4)41( )1f tt 解:4444401cossin( )ddd111 coscos2dd11i tttGettitttt tttttt令，则在上半平面有两个一级极41R(z)=1zR(z)点.22(1),( 1)22ii 22R( )d2R( ),(1) 2R( ),( 1) 22i ti zi zt eti Resz eii Resz ei 故.| |/ 2 44cos1|dRed (cossin)11222 2i ttettett (5) 4( )1tf tt 解:4444( )d1 sincosdd11 sind1i ttGett tttt tittt ttitt 同(4).
6、利用留数在积分中的应用,令4R( )=1zzz 则.44| |/2sind()Im(d )11sin22i tttt eitittt ie 5.设函数F(t)是解析函数，而且在带形区域内有界.定义函数为Im( ) t( )LG/2/2( )( )ed .L i t L LGF tt证明当时，有L 1p.v.( )e d( )2i t LGF t对所有的实数t成立. (书上有推理过程)6.求符号函数 的傅里叶1,0sgn1,0| |ttttt变换. 解:因为把函数1F( ( )( ).u ti .sgn( ) t 与u(t )作比较不难看出 sgn( )( )().tu tut故：11Fsgn(
7、 )F( ( )F( ()( ) ()()22( )()tu tutiiii 7.已知函数的傅里叶变换( )f t求00F( )=()() , ( )f t解:000-1 00000001( )F (F( )=()()d2F(cos)=cosdd2 ()()( )cosi ti titit itf tett eteeetf tt 而所以8.设函数f(t)的傅里叶变换，a为一常数. ( )F证明1 ()( ).f atFaa1F ()( )()d()d( )i ti tf atf atetf ateata解:复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）3 / 10当a0 时,令u=at
8、.则11F ()( )( )duiaf atf ueuFaaa当a0 时,令u=at,则.1F ()( )F()f ataa 故原命题成立.9.设证明 ;FF f. FftF证明： ()ededededed.i ti uiiuuitFftfuftutfufuuuftFt 10.设，证明： FF f 0001cos2F ftFFt以及 0001sin.2F ftFFt证明： 0000000e+ecos 21ee 222 1 2ititititF ftFtftFFffttFF同理： 0000000eesin 2 1ee2 1 2ititititF ftFfttiFFffttiFFi11.设 0,0
9、sin ,0t200e ,tttfgttt 他他他计算. *fgt解： )*(df y gytfgty当时，若则故tyo0,t 0,fy =0. *fgt若则0,0,2tyt 00( )dsind*ttyf y gyeytfgtyty若,0.222ttytyt 则 2sind*tyteytfgyt故 20,01,0sincose*22 1e.1 e22ttttttfgtt 12.设为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶 ut变换. 0esin1atft utt 0000000000 2002esineesineeeee2 11edddde2d2ati tati titit ati ta ita i
10、tttGFt uftttiiittai 他他习题八习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)，(2)，( )sincosf ttt4( )etf t(3)2( )sinf tt(4)，(5)2( )f tt( )sinhf tbt解: (1)1( )sincossin22f tttt221121( ( )(sin2 )2244L f tLtss复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）4 / 10(2)411( ( )(e)24tL f tLs(3)21 cos2( )sin2tf tt221 cos2111 1122( ( )()(1)(cos2 ) 222224(4)tL f
11、tLLt sss s (4)2 32( )L ts(5)22ee111111( ( )()(e )(e ) 22222btbt btbtbL f tLLL s bs bsb 2.求下列函数的拉普拉斯变换.（1）2,01 ( )1,12 0,2t f tt t (2)cos ,0( )0,ttf tt 解: (1)1220011( ( )( ) e2 ee(2 ee)stststssL f tf tdtdtdts(2)20011 e( ( )( ) ecos e(1 e) 1s ststsL f tf tdttdt ss 3.设函数,其中函数( )cos( )sin( )f tttt u t为阶跃函数, 求的拉普拉斯变换.( )u t( )f t解:000020222( ( )( ) ecos( ) esin( ) ecos( ) esine11cose1111stststststst tL f tf tdtttdtt u tdtttdttdtstsss
