立体几何问题转化为平面几何问题方法初探 --毕业论文

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1、【标题】立体几何问题转化为平面几何问题方法初探 【作者】王 天 秀 【关键词】 立体几何问题 平面几何问题 类比思想 转换思想 方法 【指导老师】冉 彬 【专业】数学与应用数学 【正文】 1.引言 立体几何学习在中学数学学习中，占有重要一席。在培养学生的空间想象能 力上，在培养学生逻辑推理能力上，在培养数学的表达能力上，是其他学科不能 比拟也不能代替的。几何学习重要，学生也是承认的，可在实际中，普遍反映： 学生最怕它，最不愿意学它，又因为中、高考都有它，不得不学它。为怎么造成 这种局面，还不值得人深思吗？ 客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件互 相转化的；事物是

2、永远处于运动变化之中的。客观世界的这些特性，要求我们在 观察问题、处理问题时，要有意识地对问题进行转化，把复杂的、难解决的问题 转化为简单的或是易解决的问题，这种意识称为化归意识。化归意识使我们用联 系发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。 化归思想，无论对于实际生活问题还是工作、学习都能给予一定的启示。对于立 体几何的学习，利用化归思的想把立体几何问题转化为平面几何问题常能解决大 量复杂的问题。更为重要的是化归的意识的培养不仅有助于问题的解决，而且对 于培养学生思维的灵活性与逆向思维都能起到促进作用。同学们的思维是否具有 灵活性，是与能否迅速、妥善地处理问题有密切关联的。 中学立体几何是

3、研究空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用的科学。而这 些空间图形是由点、线、面构成的。平面图形是空间图形的一部分，而很多空间 图形是由平面图形组成的。认清平面图形与空间图形的关系，掌握由空间问题转 化为平面问题，用平面几何的知识去加以解决。这种思维方法即为化归意识，是 本文的重要指导思想和解决立体几何问题的重要方法 。 2.研究立体几何问题转化为平面几何问题的依据 人类在漫长的历史长河中，为了生存和发展，就必须对客观世界作描述：将未知 领域转换为已知领域。客观的世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事 物之间又是在一定条件下互相转化的；事物是永远处于运动变化之中的。客观世 界的这些特性

4、，要求我们在观察问题、处理问题时，要有意识的对问题进行转化， 把复杂、难解决的问题转化为简单的或易解决的问题，之中意识称为化归意识。 回归意识使我们用联系的、发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。如： 17 世纪，几何学由于法国的数学家笛卡儿在研究点和方法的转换用代数方法 研究几何，从而使几何学走上了一条崭新的道路。他的核心思想就是要建立一种 普遍的数学，使算术、代数、几何统一起来，统一的桥梁是在平面上建立坐标系。 这样将研究代数方程的问题转换为用几何直观的方法去研究处理；把研究几何图 形的问题转换为研究代数方程的问题 。随着几何学的不断发展，人们研究客观世界也是多角度、多层次、多方面的变

5、换， 人们自然会提出将复杂 问题转换为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题。 立体几何对于平面几何而言，是比平面几何要复杂、抽象，能否将立体几何的问 题转换为平面几何问题来解决呢？ 这又给我们提出了一个研究观念的转换。 一种几何可以用公理化方法来构建，也可以把变换群与几何学联系起来，给几何 学以新的定义。这种用变换群来研究几何学的观点，是由克莱因提出的。克莱因 群论观点：某一种几何学是研究在相应变换群的一切变换下，保留图形不变性质 的科学。按此观点，我们就找到了将立体几何问题转换为平面几何的理论依据， 而立体几何中的三个公理,特别是公理 3 及其三个推论，又将立体几何转化为平面 几何的理论

6、依据进一步加强。 正如实际生活中占有空间的房屋是由一面一面的墙壁组成的那样, 立体几何中的 很多空间图形也可以由几个平面图形构成，平面图形是空间图形的组成部分。例 如：正方体就是由六个不同平面内的正方形围成的（如图 1）；两条平行的直线平 行移动，可以形成两个平行的平面（如图 2）； 图 1 正方体 图 2 两平面直线平行移动示意图 两条垂直的直线平行移动，可以形成两个垂直的平面（如图 3）；两条相交直线， 当一条绕着交点旋转，另一条不动时，可以形成垂直的直线与平面（如图 4）。因 此，我们又找到了将立体几何问题转换为平面几何问题的现实依据。图 3 两垂直直线平行移动示意图 图 4 两相交直线

7、旋转示 意图 3. 立体几何平面化的思想方法 立体几何是平面几何的延伸与拓展，两者之间在不断升维与降维的转化中实现内 容的补充和问题的解决。虽然有的平面几何定理不能移到空间，但是在空间的任 一平面上，平面几何的结论都是成立的。因此选取或构造一个恰当的平面，使问 题在这个平面上获得突破性进展，甚至全部解决，是一种自然而重要的思考方法， 也体现了几何教学的衔接性、统一性。对这种方法的掌握和运用，一定程度上反 映了研究空间问题的水平和质量，特别是对中学生，这种能力的培养和展现，直 接体现其数学能力的可塑性程度。因此，在教学中必须重视和认真研究空间问题 平面化方法的教学。 现实空间是三维的，我们在现实

8、生活中遇到的大量问题属于立体几何问题，而解 决立体几何问题的基本方法是把它类比或转化为平面几何问题。因此把平面几何 知识与立体几何知识融为一体，用类比与转换思想来理解与解决立体几何问题是 最重要的数学思想方法，也是中学生解决现实空间问题的出发点和基本思想方法。3.1 类比的思想方法 所谓类比的思想方法，就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题 做出猜想，并由此寻求问题的解决途径和结论。很多数学家，特别是那些有卓越 贡献的数学家，他们大多是运用归纳与类比的能手。正如波利亚在怎样解题 中指出“类比是一个伟大的引路人”。康德也提到：“每当理智缺乏可靠论证的 思路时，类比这个方法往往能指引我

9、们前进”。刻卜勒也曾经说过：“我珍视类 比，它是我最可信赖的老师，它知道自然界的一切秘密，在几何学中尤其不能忽 视它。”欧拉是其中的佼佼者，他对类比曾有很高的评价，他说：“类比就是大胆的创造。不过，你应该首先找到双方的相似属性 。” 类比思想是中学数学教学中的重要思想方法之一。将未知问题已知化，将多维问 题降维化，将复杂问题简单化，都是利用类比方法解决有关问题常用的手段，往 往有些百思不得其解的问题由此可瞬时步入豁然开朗的境界。数学家认为，类比 是发现的源泉，是伟大的引路人。 立体几何教学中，类比的思想方法被广泛采用。如将几何中的点和直线与立体几 何中的直线和平面分别对应起来，由平面几何中角的

10、概念可类比出立体几何中二 面角的概念，由平面上直线 ab, bc,则 ac，可类比为空间内平面 ， ，则 ；与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似性质； “面面垂直”与“线线垂直”，四面体与三角形均有较多的类似性质等，都是类 比的思想方法获得运用的体现与展示。教学中，随时注意帮助学生掌握和运用类 比的思想方法，可起到巩固旧知识，加速对新知识的形成、理解和记忆，促进知 识的正迁移，培养学生思维广阔性的作用。 当然，类比仅仅是一种猜想，其正确性尚须逻辑论证。 又如解题教学中，将空间问题“在平面 同侧有两点 A、B，在 内求一点 C，使 AC+BC 最小”和平面问题“在直线 同旁有两点 A、B，

11、在 上求一点 C，使 AC+BC 最 小”进行类比如图 5 所示：图 5 极容易发现这一空间问题也可以考虑折线变直线的思想方法予于解决；与平面问 题“求证正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”的证明方法类比，很容 易得到空间问题“求证正四面体内任意一点到个面的距离之和为定值”的证明方 法：用体积法证明其值等于正四面体的高。 由此可见，在教学中，注意启发和诱导学生将空间问题和数量关系、位置结构与 相似的平面几何问题进行类比，可以开拓学生的思路、诱发灵感，增强数学发现 的能力，同时还可以沟通知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构 。 3.2 转换的思想方法 研究问题时，将研究对象在一定条件下

12、转化为熟知的、简单的、基本的研究对象 的思维方法称为转化思想。美国数学教育家波利亚在怎样解题中强调指出： “为了辩明哪一条思路正确，哪一种方向可以接近它，我们就要试探各种方向和 各种思路，就变更题目”。他所说的“变更题目”实质上就是转化。而转换是思 想就是我们立体几何学习中的一种十分重要的思想方法。著名数学家高斯也曾说 过“数学中的转换是美的发现。”这种思想方法是研究立体几何中做重要的思想 方法，它贯穿于立体几何教学的始终，而将立体几何问题转化为平面问题是用转 换方法解决立体几何问题的基本方法 。 将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题时最重要的数学思想方法。 将空间问题转化为平面问

13、题就是把立体几何问题中的基本元素转换到一个或几个 平面图形中，然后用平面几何的知识上来解决。事实上，立体几何中由于许多重 要概念如：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的大小就是用两相 交直线的角来定义的。因此，空间图形中许多基本元素的计算、证明问题就可以 转换成平面图形来解决。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问 题；教材中几种多面体和旋转体的侧面积公式的 推导（除球面和球冠外），侧面 上最短线路问题也多是通过侧面展开转化为平面问题；旋转体的有关问题也多是通过轴截面而转化为平几问题。其实，立体几何中三种角（线线角、线面角、面 面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面

14、距）从定义到具体的计算以 及三垂线定理都体现了空间到平面的转换。故此，教学中的适时揭示与恰当运用， 确能强化学生的思维和目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。 4. 立体几何问题平面化的具体方法和典型例题 4.1 类比的思想方法 众所周知，平面几何与立体几何有许多相似的内容，这种知识内容的相似决定了 逻辑方法上的相似。类比就是先从一个类似的平面几何问题出发，去探求解决立 体几何问题的途径。在立体几何中类比联想的思维方法是解决问题的一把钥匙， 它既可以帮助我们确定未知结论，也可以帮助我们寻找解决问题的方法。正如美 国数学教育家 G波利亚说：“对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题

15、和获得新发现取之不竭的源泉”。 例 1：如果多面体存在内接球，求证：这个多面体的体积等于它的表面积与内接球 半径乘积的三分之一。 分析：与平面几何问题：“求证：多边形存在内切圆，这个多边形的面积等于其 周长与内切圆半径乘积的二分之一。”类比，其证题思路就是利用内切圆圆心到 各顶点的连线把这个多边形分为若干个以多边形的边为底边的等高三角形，由此 推测，这道立体几何题亦可用内切球球心与个顶点的连线，把这个多面体分成若 干个以多面体各面为底面的等高锥体来解决。 例 2：空间 n 个平面最多把空间分成多少个部分?解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线。 平面之于空间低一维，恰似直线

16、之于平面低一维。所以我们可以类比直线 分平面的个数使问题获解。 分割元素的个数 直线分平面的个数 平面分空间的个数1 22 2 44 3 78 4 1115 5 16 26 当直线分平面时，第 k 条直线与前 k 1 条直线有 k 1 个交点，这 k 1 个交 点把直线分成 k 段，每一段把原所在平面分成 2 部分。 记 k 条直线分平面的个数为 P（k）=P（k 1）+k 类比上述直线分平面的关系可知，第 k 个平面与前 k1 个平面有 k1 条直线， 这 k1 条直线把平面分 P（k 1） 个平面，每一平面分原所在空间 2 部分。 记 k 个平面分空间的个数为 W（k）=W（k 1）+P（k 1） 由 2，4，7，1