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1、第二章第二章 导数与微分习题参考解答导数与微分习题参考解答1、求下列函数的导数。、求下列函数的导数。（1）； （2）； （3）；223) 1(xxyxxysinbxeyaxsin（4）；（；（5）；（；（6）。)ln(22axxy11arctanxxyx xxy)1(2、求下列隐函数的导数。、求下列隐函数的导数。（1）；（；（2）已知）已知求求。0)cos(sinyxxy, exyey)0(y 3、求参数方程、求参数方程 所确定函数的一阶导数所确定函数的一阶导数与二阶与二阶 )cos1 ()sin( tayttax)0(adxdy导数导数。22dxyd4、求下列函数的高阶导数。、求下列函数的高
2、阶导数。（1）求求； （2）求求。,xy )(ny,2sin2xxy )50(y5、求下列函数的微分。、求下列函数的微分。（1）； （2）。)0( ,xxyx21arcsinxxy 6、求双曲线、求双曲线，在点，在点处的切线方程与法线方程。处的切线方程与法线方程。12222 by ax)3,2(ba7、用定义求、用定义求，其中，其中并讨论导函数的连续性。并讨论导函数的连续性。)0(f , 0,1sin)(2 xxxf. 0, 0 xx习题参考答案：习题参考答案：1、 （1）解：）解： ) 1() 1()() 1(23223223xxxxxxy)(1(2) 1(3223222xxxxxxxxxx
3、2) 1(2) 1(323222。)37)(1(222xxx（2）解：）解：。2sincos)sin(xxxx xxy（3）解：）解：bxbebxaebxeyaxaxaxcossin)sin(。)cossin(bxbbxaeax（4）解：）解：1 )ln(222222 axx axxaxxy)( 211 1222222 ax axaxx2 211 12222x axaxx 。1 12222axxaxx 221ax （5）解：）解：)11( )11(11)11(arctan 2xxxxxxy。11 ) 1() 1() 1( ) 1(2) 1(2222xxxx xx（6）解：）解：)()1(1ln
4、xxxxexxy1ln)1 ()1 ()1 ()1(2xx xxx xxx xxx 。)1ln11()1(xx xxxx 2、 （1）解：两边直接关于）解：两边直接关于 求导得求导得x0)1)(sin(cossinyyxxyxy。)sin(sin)sin(cos yxxyxxyy（2）解：将）解：将代入原方程解得代入原方程解得0x, 1y原方程两边直接关于原方程两边直接关于 求导得求导得 ， x0yxyyey上方程两边关于上方程两边关于 再次求导得再次求导得 x, 02)(2 yxyyeyeyy将将，代入上边第一个方程得代入上边第一个方程得，0x, 1y1)0(ey将将，代入上边第二个方程得代
5、入上边第二个方程得。0x, 1y1)0(ey2)0( ey3、解：、解：；),cos1 (tadtdxtadtdysin；2cot)cos1 (sint tata dtdxdtdy dxdy。2csc41 )cos1 (1)21 2csc()(42 22t atat dxdt dxdy dtd dxyd4、 （1）解：）解：；1xy2) 1( xy依此类推依此类推。) 1( ,) 1() 1()(nxnynnL（2）解：设）解：设,2sin2xvxu则则，)50, 2 , 1)(22sin(2)(Lkkxukk),50, 4 , 3(0, 2,2)(L kvvxvk代入代入 Leibniz 公
6、式，得公式，得2)2482sin(2! 249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin(4849250)50(2)50( xxxxxxxy。)2sin212252cos502sin(2250xxxxx5、 （1）解：）解： .),1(ln)(lnxxeyxxxdxxxdyx) 1(ln（2）解：）解： 122arcsin1 11112222xxxx xxy ；23 22)1 (arcsin1xxxx。dxydydxxxxx23 22)1 (arcsin16、解：首先把点、解：首先把点代入方程左边得代入方程左边得，)3,2(ba1343422222222 bb aa by a
7、x即点即点是切点。是切点。)3,2(ba对双曲线用隐函数求导得对双曲线用隐函数求导得, 0222222yaxbybyy ax过点过点的切线的斜率为的切线的斜率为)3,2(ba,3232)3,2(22abbaabbay故过点故过点的切线方程为的切线方程为；)3,2(ba)2(323axabby过点过点的法线方程为的法线方程为。)3,2(ba)2(233axbaby7、解：、解：, 01sin1sin0)0()()0(limlimlim 0200xxxxxxfxffxxx同理同理；故；故。0)0(f0)0( f显然显然在在点连续，因此点连续，因此xxxxxxxxxf1cos1sin211cos1s
8、in2)(220x只需考查只需考查在在点的连续性即可。但已知点的连续性即可。但已知在在点不连续，点不连续，)(xf 0xx1cos0x由连续函数的四则运算性质知由连续函数的四则运算性质知在在点不连续。点不连续。)(xf 0x讨论习题：讨论习题：1、设设求求。, )3()(xxxxf)(xf 2、求和求和。n nxnxxxS2322232L3、设函数设函数在在上有定义，且满足上有定义，且满足)(xf 1 , 1, 11,)(3xxxxfx证明证明存在，且存在，且。)0(f 1)0( f讨论习题参考答案：讨论习题参考答案：1、解：因为、解：因为 ),3(),3(),3()(222xxxxxxxf.
9、 0, 30, 3xxx易知易知在开区间在开区间内都是可导的；又内都是可导的；又)(xf), 3()3 , 0()0 ,(对于分段点对于分段点，有，有0x3x，00)3( 0)0()()0(200limlimxxx xfxffxx，即，即；00)3( 0)0()()0(200limlimxxx xfxffxx0)0( f，930)3()3(2323limlimxxxxfxx，即，即不存在；不存在；9)(30)3()3(2323limlimxxxxfxx)3(f 所以除所以除之外之外在区间在区间內均可导，且有內均可导，且有3x)(xf), 3()3 ,(,36, 0,63)(22xxxxxf).
10、3 , 0(, 0), 3()0 ,(xxx2、解：因为、解：因为，xxxxxn n 1111 2L，21 2 )1 () 1(1)1 (xnxxnxxxnn n L；21 12 )1 () 1(1321xnxxnnxxxnn n L 1) 1() 122() 1() 1() 1()1 () 1(1 )321 ()32()321 (3221222 322121123212132223222xxnxnnxnxxxnxxnxxxnxxnxxnxxxxxnxxxxxxnxxxxnxxxSnnnnnnnnnnn nLLL3、证：由、证：由可知当可知当时，时，, 11,)(3xxxxfx0x0)0(0
11、f即即。又。又0)0(f；)0, 11( ,0)0()()(3 xxxxx xfxf xxf xx已知已知，由夹挤定理可得，由夹挤定理可得1300limlimxxx xxxx。10)0()()0(lim 0xfxffx思考题：思考题：1、若若在在不可导，不可导，在在可导，且可导，且，则，则)(uf0u)(xgu 0x)(00xgu 在在处（处（ ）)(xgf0x（1）必可导，必可导， （2）必不可导，）必不可导， （3）不一定可导。）不一定可导。2、设设连续，且连续，且，求，求。)(xg)()()(2xgaxxf)(af 思考题参考答案：思考题参考答案：1、解：正确选择是（解：正确选择是（3）
12、例如：例如：在在处不可导；若取处不可导；若取在在处处uuf)(0uxxgusin)(0x可导，则可导，则在在处不可导；即（处不可导；即（1）不正确。又）不正确。又xxgfsin)(0x若取若取在在处可导，则有处可导，则有在在处可导。处可导。4)(xxgu0x44)(xxxgf0x即（即（2）也不正确。）也不正确。2、解：因为解：因为可导，所以可导，所以)(xg)()()()(2)(2xgaxxgaxxf又因为又因为不一定存在，故用定义求不一定存在，故用定义求，)(xg )(af )(2)()()(2)()0)()()()(limlimlimagxgaxxgaxxfafaxafxfafaxaxax
