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1、新课标高中数学基础知识归纳新课标高中数学基础知识归纳 北京新东方学校 蒋叶光 第 1 页 共 9 页第一部分第一部分 集合集合 1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因 变量的取值？还是曲线上的点？ ； 2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等 工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3 （1）含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n2；（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。;BBAABABAUIA4是任何集合的子集，是任何非空集合
2、的真子集。第二部分第二部分 函数与导数函数与导数 1映射：映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。 2函数值域的求法：函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜2222babaab率、距离、绝对值的意义等） ；利用函数有界性（、等） ；导数法xaxsinxcos3复合函数的有关问题复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(
3、x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；)(xgfy )(xgu )(ufy 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； 根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4分段函数：分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5函数的奇偶性函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件必要条件；是奇函数f(x)=f(x)；是偶函数f(x)= f(x)(xf)(xf奇函数在原点有定义，则；)(xf0)0(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； 若所给函数的解
4、析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6函数的单调性函数的单调性 单调性的定义：在区间上是增函数当时有；)(xfM,21Mxx21xx 12()()f xf x在区间上是减函数当时有；)(xfM,21Mxx21xx 12()()f xf x单调性的判定 定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；)()(21xfxf导数法（见导数部分） ；复合函数法；图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7函数的周期性函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数） ，则x)()(xfTxfT称函数为周期函数，为它的一个周期。)(xfT所有正周
5、期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周 期。 （2）三角函数的周期 ； ；2:sinTxy2:cosTxyTxy:tan ；|2: )cos(),sin(TxAyxAy|:tanTxy(3)与周期有关的结论或 的周期为；)()(axfaxf)0)()2(axfaxf)(xfa28基本初等函数的图像与性质基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；指数函数：；xy )R) 1, 0(aaayx对数函数:；正弦函数:；) 1, 0(logaaxyaxysin余弦函数： ；（6）正切函数：；一元二次函数：；xycosxytan02cbxax其它常用函数： 正比例函数：；反
6、比例函数：；函数；)0(kkxy)0(kxky)0(axaxy9二次函数：二次函数： 解析式：新课标高中数学基础知识归纳新课标高中数学基础知识归纳 北京新东方学校 蒋叶光 第 2 页 共 9 页一般式：；顶点式：，为顶点；cbxaxxf2)(khxaxf2)()(),(kh零点式： 。)()(21xxxxaxf二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。 cbxaxy2 abx2 abac ab 44 22 ，10函数图象：函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象
7、变换： 平移变换：)，左“+”右“”；)()(axfyxfy)0(a)上“+”下“”；)0( ,)()(kkxfyxfy 对称变换：；)(xfy )0, 0()( xfy)(xfy 0y)(xfy ； ；)(xfy 0x)( xfy)(xfy xy( )xf y 翻转变换：)右不动，右向左翻（在左侧图象去掉） ；|)(|)(xfyxfy)(xfy)上不动，下向上翻（|在下面无图象） ；| )(|)(xfyxfy)(xfx11函数图象（曲线）对称性的证明函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称)(xfy 点仍在图像上；（2）证明函数与
8、图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称)(xfy )(xgy )(xfy 中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；)(xgy 注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（0,0）的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为：f(y, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)图像关于直线 x=对称；2ba 特别地：f(a+x
9、)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线 x=a 对称； 12函数零点的求法：函数零点的求法：直接法（求的根） ；图象法；二分法.0)(xf(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0； 6圆的方程的求法：圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）d 点在圆上；点在圆内；点在圆外。 Rd Rd Rd直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）d 相切；相交；相离。 Rd Rd Rd圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）drR,rR
10、相离；外切；相交；rRdrRdrRdrR 内切；内含。rRdrRd08、直线与圆相交所得弦长22| 2ABrd第六部分第六部分 圆锥曲线圆锥曲线1定义：定义：椭圆：；|)|2( ,2|2121FFaaMFMF双曲线：；抛物线：|MF|=d|)|2( ,2|2121FFaaMFMF2结论结论 焦半径：椭圆：（e 为离心率） ； （左“+”右“-”） ；0201,exaPFexaPF抛物线：20pxPF弦长公式：4)(1 (1212 212 122xxxxkxxkAB注：抛物线：x1+x2+p；通径（最短弦）：椭圆、双曲线：；抛物线：AB ab222p。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时
11、大于 0 时表示椭圆，122 nymxnm,时表示双曲线） ；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； 0mnP21PFF双曲线中的结论：新课标高中数学基础知识归纳新课标高中数学基础知识归纳 北京新东方学校 蒋叶光 第 5 页 共 9 页双曲线（a0,b0）的渐近线：； 12222 by ax02222 by ax共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0） ；xaby(2222 by ax双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；2exy焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3直线与圆锥曲线问题解法：直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
12、 注意以下问题： 联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？xy 直线斜率不存在时考虑了吗？ 判别式验证了吗？ 设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点 A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问题。LL2121 xxyykAB4求轨迹的常用方法：求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式） ； （3）代入法（相关点法或转移法） ；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。 第七部分第七部分 平面向量平面向量设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b0)a=b （x1y2x2y1=0；)R ab(a、b0)ab=0x1x2+y
13、1y2=0 ab=|a|b|cos=x2+y1y2； 注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab 的几何意义：ab 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。cos=；|baba三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线；xy1OPxOAyOBuuu ruu u ruuu r且（理科）（理科）P，A，B，C 四点共面。,xyz1OPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r且第八部分第八部分 数列数列 1定义：定义：等差数列 *), 2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn为常数）；BnAnsbknann2等比数列 N)n2,(n)0(1n1 -n2 n1n naaaqqaaan2等差、等比数列性质等差、等比数列性质等差数列 等比数列通项公式 dnaan) 1(11 1n nqaa前 n 项和 dnnnaaanSn n2) 1( 2)(11qqaaqqaSqnaSqnnnn11)1 (1
