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1、 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2018-2-281高三数学一轮复习函数的奇偶性函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现一、要点精讲一、要点精讲1、函数的奇偶性的定义：对于函数定义域内定义域内任意一个，若有_ _ _，则函数为奇函数；)(xfx)(xf若有_ _，那么函数为偶函数.)(xf2、奇偶函数的性质： 定义域关于原点对称； 偶函数的图象关于轴对称；y 奇
2、函数的图象关于原点对称； 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 为偶函数 若奇函数的定义域包含，则( )f x( )(|)f xfx( )f x0(0)0f3、判断函数奇偶性的途径： 依据图象的对称性进行判断 依据常见函数奇偶性的结论进行判断 运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看 f(x)是否等于f(x)或f(x)对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形” ，采用“赋值”等策略 4、周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(xT) f(x) ，那么就称函数 yf(x)为周期函
3、数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二、基本训练二、基本训练1下面四个结论中，正确命题的个数是( ）偶函数的图象一定与 y 轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于 y 轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(xR)A.1 B.2 C.3 D.4多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2018-2-282解:不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)=0x(-a,a). 2下列各函数中是奇函数的
4、是（A） （B） Rxxxf2 , 032xxxf（C） （D） Rxxxxf3 , 0lg3xxxf3.已知函数是奇函数，当时，；当时，等于 xf0x xxxf10x xf（A） （B） （C） （D）xx1xx1xx1xx14已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4)f(x)，当 x(0,2)时，f(x)2x2，则 f(2011)( )A2 B2 C98 D98 解：由 f(x4)f(x)，f(x)的周期为 4，f(2011)f(50243)f(3)f(1)，又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1)2122，f(1)f(1)2. 5已知函数 yf(x)为奇函数，若 f(3
5、)f(2)1，则 f(2)f(3)_. 解：yf(x)为奇函数，f(2)f(3)f(2)f(3)1. 6.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是( )A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析:由 f(x)为偶函数，知 b=0，有 g(x)=ax3+cx(a0)为奇函数.7、已知为偶函数，且定义域为，则= ，= 。 babxaxxf322 , 1aaab解析:定义域应关于原点对称，故有 a-1=-2a，得 a=. 要使 f(-x)=f(x)恒成立，应 b=0.31三、典例解析三、典例解析考点一：函数奇偶性的判断考点一：
6、函数奇偶性的判断1、判断下列函数的奇偶性 ； ； 2|2|1)(2xxxf2 21( )lglgf xxxxxxxf11)1 ()( ； f(x)Error!Error!22lg(1)( )|2| 2xf xx2)(2axxxf解：（1）由得定义域为， 奇2210|2| 20xx ( 1,0)(0,1)U22lg(1)( )(2)2xf xx22lg(1)x x (2) 既是奇函数也是偶函数 （3）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数101x x 1,1)( )f x多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2018-2-283（4） 为偶函数2222lg1 () lg(1)()(
7、)xxfxxx ( )f x( )f x（5）分与两种情况0a0a（6）解：当 x1，f(x)(x)2x2f(x)当 x1 时，f(x)x2，x0( )Ax|x4 Bx|x4 Cx|x6 Dx|x2 解：f(x2)0 等价于 f(|x2|)0f(2)，又f(x)x38(x0)为增函数，|x2|2.解得 x4 或 x0)上的奇函数，且存在最大值与最小值若 g(x)f(x)2，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A0 B2 C4 D不能确定解：f(x)是定义在a，a上的奇函数，f(x)的最大值与最小值之和为 0，又 g(x)f(x)2 是将 f(x)的图象向上平移 2 个单位得到的，故 g(x)
8、的最大值与最小值比 f(x)的最大值与最小值都大 2，故其和为 4.5已知函数 f(x)满足：f(1)2，f(x1)，则 f(2011)等于( )1fx1fxA2 B3 C D.1213解：条件知，f(2)3，f(3) ，f(4) ，f(5)f(1)2，故 f(x4)f(x) (xN*)1213f(x)的周期为 4， 故 f(2011)f(3) .12点评 严格推证如下： f(x2)，1fx11fx11fxf(x4)f(x2)2f(x)即 f(x)周期为 4. 故 f(4kx)f(x)，(xN*，kN*)，6设 f(x)lg是奇函数，则使 f(x)2，排除 D，当 x 时，y 1，排除 B，故
9、选 C.xsinx2sin266sin638. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 yf(x)的图象关于直线 x 对称，则 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)12_.解：f(x)的图象关于直线 x 对称，ff，对任意 xR 都成立，12(12x)(12x)f(x)f(1x)，又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1x)f(1x)f(2x)，周期 T2 f(0)f(2)f(4)0 又 f(1)与 f(0)关于 x 对称f(1)0 f(3)f(5)0 填 0.129若 f(x)lg(aR)是奇函数，则 a_.(2x1xa)解：f(x)lg是奇函数，f(x)f(x)0 恒成立，(2x
10、1xa)即 lglglg0.(2x1xa)(2x1xa)(2x1xa)(2xx1a)1， (a24a3)x2(a21)0，(2x1xa)(2xx1a)上式对定义内的任意 x 都成立， Error!Error!，a1.点评 可以先将真数通分，再利用 f(x)f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单f(x)lg为奇函数，显然a2xa1xx1 不在 f(x)的定义域内，故 x1 也不在 f(x)的定义域内，令 x1，得 a1.故平时解题中要aa2多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力10、已知函数 f(x)lg为奇函数，则使不等式 f(x)0 得，2，
11、0 且 a1)是定义在(，)上的奇函数42axa(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的值域；(3)当 x(0,1时，tf(x)2x2 恒成立，求实数 t 的取值范围解：(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即 f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即 10， 解得 a2.42 a0a(2)y，2x， 由 2x0 知0， 1y1，即 f(x)的值域为(1,1)2x12x11y1y1y1y(3)不等式 tf(x)2x2 即为2x2. 即：(2x)2(t1)2xt20.设 2xu，t2xt2x1x(0,1，u(1,2 u(1,2时 u2(t1)ut20 恒成立Error!Error!，解得 t0.
