《再谈利用曲线中切线定理妙解高考压轴题(PDF版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《再谈利用曲线中切线定理妙解高考压轴题(PDF版)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1再谈利用曲线割线与中切线斜率关系定理再谈利用曲线割线与中切线斜率关系定理妙解高考压轴题妙解高考压轴题作者：艾书学2014 年 12 月于沈阳在函数与导数应用有关的习题中，时常会遇到这样一类题目，即给定某一函数（如图 1 所示），已知其割线bkxy与曲线( )yf x交于两个不同点),(),(2211yxByxA，过AB中点的铅垂线与曲线交于C点，根据不同的函数类型，割线AB的斜率 1212)()( xxxfxfk与过C点的切线（姑且称其为中切线）斜率)2( 12xxf之间存在着某种固定关系，即有如下定理 （估且称之为曲线的割线和其中切线的斜 率关系定理，简称为中切线定理）。曲线的割线和其
2、中切线斜率关系定理：曲线的割线和其中切线斜率关系定理：设函数( )yf x是定义在实数集R某一子集D上的连续函数，其一、二阶导函数在D上均连续且可导，对于12,x xD且12xx：若( )fx单调递增，则有)2( )()(121212xxfxxxfxf；若( )fx为常数，则有)2( )()(121212xxfxxxfxf；若( )fx单调递减，则有)2( )()(121212xxfxxxfxf。笔者在专著谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法（ http:/ 出了证明，但证明过程中用到了拉格朗日中值定理，对一般高中生 而言，理解起来有一定困难。为此，笔者在此再给出一种适合于高 中生的证明方
3、法。B BA Ax xf(x)f(x)x x2 2x x1 1C C图图 1 12 2曲线的割线和其中切线斜率关系定理之证明（二）：曲线的割线和其中切线斜率关系定理之证明（二）： 先证明预备定理先证明预备定理: :设函数( )yf x是定义在实数集R某一子集D上的连续函数，其导函数在D上连续且可导，对于12,x xD且12xx：若( )f x单调递增，则有21 12 21( )( )( )( )f xf xf xf xxx； 若( )f x为常数， 则有21 12 21( )( )( )( )f xf xf xf xxx；若( )f x单调递减，则有21 21 21( )( )( )( )f
4、xf xf xf xxx。证明证明: :设11112( )( )( )() ( ),( ,g xf xf xxx fxxx x则1( )0,g x 而1( )( )( )g xf xf x,由于( )f x单调递增且1xx,1( )( )( )0,g xf xf x故( )g x在 定 义 域 内 单 调 递 增 , 所 以1( )( )0,g xg x进 而111( )( )() ( )0,f xf xxx fx即21 1 21( )( )( )f xf xf xxx成立。其它各种情况证明方法均类似,在此不再详述，有兴趣的读者可自行练习。中切线定理之证明中切线定理之证明: :只证明( )fx
5、单调递增的情形。当12( ,xx x时，有21 12xxxxx。由于( )fx在定义域内连续可导且单调递增，在预备定理中用1 2xx代换1x，且用( )f x代换( )f x即有111( )()() ()0,222xxxxxxfxfxf即111( )()() ()0222xxxxxxfxff（）。为了证明中切线定理，我们令1 11( )( )( ) () (),2x xh xf xf xx x f则111( )( )( ) 0h xf xf x； 而111( )( )()(),222x xx xx xh xf xff由上述 （）3 3式知该式大于 0，即( )h x在定义域内单调递增，故1(
6、)( ) 0,h xh x所以1 11( )( )( ) () ()0,2x xh xf xf xx x f即1 11( )( )() ()2x xf xf xx x f； 令2x x，即有21 2121( )( )() ()2xxf xf xxx f，即)2( )()(121212xxfxxxfxf成立。其它情况亦请有兴趣的读者自行证明。说明说明： 上述证明方法相对于作者在专著中给出的第一种证明方法相比要繁琐许多，但避开了中值定理，这对高中生来说更容易理解；而且这种证明方法中顺便给出了预备定理， 预备定理本身也具有很大的应用价值， 有些题目就有所涉及，例如下面题目的第二问。（附：附：湖北省襄
7、阳五中、钟祥一中、夷陵中学 2014 届高三三校联考理科试题）已知函数xxxxfln)(，)()()(af xxfxg，其中)(af 表示函数)(xf在ax 处的导数，a为正常数（1）求)(xg的单调区间；（2）对任意的正实数21, xx，且21xx ，证明：)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx；（3）对任意的*Nn，且2n，证明：nnf nln2ln) 1(1 ln1 3ln1 2ln1 本文在下面的篇幅中主要通过实例使读者切身体会中切线定理在解决部分 高考压轴题及许多类似题目中的巧妙应用。 【例题【例题 1 1】（直接应用：】（直接应用：吉林省长春市吉林省长春市
8、 20142014 届高三毕业班第二次调研测试题）届高三毕业班第二次调研测试题）已知函数xxxfln)(（1）求)(xf的单调区间和极值；（2）设11( ,()A xf x，22(,()B xf x，且12xx，证明：211221()()()2f xf xxxfxx.解：解：()易求得)(xf的单调递减区间为1(0, )e，单调递增区间为1( ,)e 。()由于( )lnf xxx， 故211( )ln1, ( ), ( )0f xxfxfxxx， 故( )fx在定义域(0,) 上单调递减。由中切线定理即知，211221()()()2f xf xxxfxx。4 4【例题【例题 2 2】( (直
9、接应用：直接应用：20112011 辽宁卷理科辽宁卷理科 2121 题题) )已知函数xaaxxxf)2(ln)(2（I）讨论)(xf的单调性；（II）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（III） 若函数)(xfy 的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x解解： （I）易知：当0a 时( )(0,)f x在上单调增加；当0a 时，1( )(0,)f xa在上单调增加，在1(,)a 上单调减少.（II）证明略。（III）设函数)(xfy 的图像与x轴交于1122( ,), (,)A x yB xy，则有12()()0f xf x。 由于
10、2( )ln(2) ,f xx axa x故0,x且1( )22,f xaxax 2312( )2 , ( )0fxa fxxx，故( )fx在定义域(0,) 上单调递增。由中切线定理即知，1221 0 21()()()()02xxf xf xfxfxx，命题得证。【例题【例题 3 3】（直接应用直接应用：20052005 湖南卷理科湖南卷理科 2121 题题、20102010 年广东省高中青年教师命年广东省高中青年教师命 题大赛参赛试题、题大赛参赛试题、20132013 年辽宁省重点中学协作体领航高考预测理科试题、年辽宁省重点中学协作体领航高考预测理科试题、2012014 4 年鄂尔多斯市高
11、考模拟理科试题）年鄂尔多斯市高考模拟理科试题）已知21( )ln ,( ) 2f xxg xaxbx (0),( )( )( ).ah xf xg x （）当42ab，时，求( )h x的极大值点；（） 设函数( )f x 的图象1C与函数 ( )g x 的图象2C 交于P 、Q两点， 过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交1C、2C 于点M 、N， 证明：1C在点M 处的切线与2C 在点N处的切线不平行.解：解：（I）易知当42ab，时，( )h x的极大值点为51 4.5 5（II）依题意设1122( ,),(,)P x yQ xy，记12 02xxx，则0000(,(),(, ()M xf
12、xN xg x。由于( )ln ,f xx故0,x且1( ),f xx2312( ), ( )0fxfxxx，故( )fx在定义域(0,) 上单调递增。由中切线定理知，1221 0 21()()()()2xxf xf xfxfxx。另一方面，由于21( )(0),( ),( )2g xaxb agxax gxa为常数，由中切线定理知，1221 0 21()()()()2xxg xg xg xgxx。 由于1122( ,),(,)P x yQ xy为曲线12,C C 的交点，故有1122()(),()()f xg xf xg x，21212121()()()()f xf xg xg x xxxx
13、，由此知2121 00 2121()()()()()()f xf xg xg xfxg xxxxx，命题得证。【例题【例题 4 4】（微变应用：（微变应用：20142014 届杭州市高考模拟考试样题理科届杭州市高考模拟考试样题理科 2222 题）题）已知函数21( )ln1, ( ),2af xxaxg xxaR，（）已知2, ( )( )( ),ah xf xg x求( )h x的单调区间；（）已知1,a 若1201xx，12 12 12()()( )()f xf xftxtxxx ，求证：12 2xxt 解：解：（I）略。（II） 依题意， 由于1,( )ln1af xxx故0,x且1(
14、)1,f xx 21( )0,fxx32( )0fxx，故( )f x在定义域(0,) 上单调递减，( )fx单调递增。由中切线定理知，211221()()( )()2f xf xxxftfxx；又因为( )f x单调递减，即知命题成立。 【例题【例题 5 5】（变式拓展变式拓展：20092009 辽宁卷理科辽宁卷理科 2121 题题、20102010 年广东省高中青年教师命年广东省高中青年教师命 题大赛参赛试题）题大赛参赛试题）6 6已知函数21( )(1)ln ,12f xxaxax a。（）讨论函数( )f x的单调性；（）证明：若5a ，则对任意1212,(0,),x xxx，有1212()()1f xf x xx 。解：（I）易知当2a 时，( )f x在(0,1)(1,)a单调递增，在(1,1)a单调递减；当12a时，( )f x在(0,1)(1,)a单调递增，在(1,1)a单调递减.（ II ） 依 题 意 ， 由 于21( )(1)ln ,152f xxaxaxa故0,x且1( ),af xx ax 2312(1)( ) 1, ( )0aafxfxxx ， 故( )fx在定义域(0,)上单调递增。由中切线定理知，2112122112()()2(1)()22f xf xxxx
