《从九九乘法看九十九乘法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从九九乘法看九十九乘法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、從九九乘法看九十九乘法 壹、研究動機 某一天收到朋友的一封電子郵件其中介紹到印度的九九乘法，感到很有趣，它要求我 們請試著用心算算出下面的答案： 13 12 = ？ (被乘數) (乘數) 而印度人是這樣算的。 * 第一步： 先把被乘數(13)跟乘數的個位數(2)加起來 13 + 2 = 15 第二步： 再把被乘數的個位數(3)乘以乘數的個位數(2) 2 3 = 6 第三步： 然後把第一步的答案乘以 10(也就是說後面加個 0 )之後再加上第二步的答案就行了 15 10 + 6 = 156 就這樣，用心算就可以很快地算出答案了。這真是太神奇了！也令我們興起想要一探 究竟的意念，讓我們對數的乘法有
2、進一步的了解。 貳、研究目的 一試著解出印度 1919 的原理 二推展至 9999 的計算 叁、研究設備及器材 電腦一部、計算機兩台、筆及紙 肆、研究過程或方法 一先藉由電腦利出 1919 的結果如下表 11111111 12121212 13131313 14141414 15151515 16161616 17171717 18181818 19191919 11111111 121 132 143 154 165 176 187 198 209 12121212 132 144 156 168 180 192 204 216 228 13131313 143 156 169 182 19
3、5 208 221 234 247 14141414 154 168 182 196 210 224 238 252 266 15151515 165 180 195 210 225 240 255 270 285 16161616 176 192 208 224 240 256 272 288 304 17171717 187 204 221 238 255 272 289 306 323 18181818 198 216 234 252 270 288 306 324 342 19191919 209 228 247 266 285 304 323 342 361 二原理推導與驗證 依其步
4、驟拆開數看為 第一步：先把被乘數(13)跟乘數的個位數(2)加起來 13 + 2 = 15 此為處理十位數 第二步：再把被乘數的個位數(3)乘以乘數的個位數(2) 2 3 = 6 此為處理個位數 第三步：然後把第一步的答案乘以 10 之後再加上個位數的答案就行了 15 10 + 6 = 156 故我們將其反推為（13+2）10+32 = 1310+(10+3)2 = 1310+210+32 = 1310+132=13(10+2)=1312 以乘法分配律而言 1312=（10+3）（10+2）=1310+102+32 =（13+2）10+32 而（13+2）10 即第一步； 32 即第二步；故以
5、乘法分配律可證得其算法是正確的。 三.結論初步驗證 11111111 12121212 13131313 14141414 1 1 1 15 5 5 5 11111111 (11+1)10+11=121 (11+2)10+12=132 (11+3)10+13=143 (11+4)10+14=154 (11+5)10+15=165 12121212 (12+1)10+21=132 (12+2)10+22=144 (12+3)10+23=156 (12+4)10+24=168 (12+5)10+25=180 13131313 (13+1)10+31=143 (13+2)10+32=156 (13+
6、3)10+33=169 (13+4)10+34=182 (13+5)10+35=195 14141414 (14+1)10+41=154 (14+2)10+42=168 (14+3)10+43=182 (14+4)10+44=196 (14+5)10+45=210 15151515 (15+1)10+51=165 (15+2)10+52=180 (15+3)10+53=195 (15+4)10+54=210 (15+5)10+55=225 16161616 (16+1)10+61=176 (16+2)10+62=192 (16+3)10+63=208 (16+4)10+64=224 (16+5
7、)10+65=240 17171717 (17+1)10+71=187 (17+2)10+72=204 (17+3)10+73=221 (17+4)10+74=238 (17+5)10+75=255 18181818 (18+1)10+81=198 (18+2)10+82=216 (18+3)10+83=234 (18+4)10+84=252 (18+5)10+85=270 19191919 (19+1)10+91=209 (19+2)10+92=228 (19+3)10+93=247 (19+4)10+94=266 (19+5)10+95=285 16161616 17171717 1818
8、1818 19191919 11111111 (11+6)10+16=176 (11+7)10+17=187 (11+8)10+18=198 (11+9)10+19=209 12121212 (12+6)10+26=192 (12+7)10+27=204 (12+8)10+28=216 (12+9)10+29=228 13131313 (13+6)10+36=208 (13+7)10+37=221 (13+8)10+38=234 (13+9)10+39=247 14141414 (14+6)10+46=224 (14+7)10+47=238 (14+8)10+48=252 (41+9)10+4
9、9=266 15151515 (15+6)10+56=240 (15+7)10+57=255 (15+8)10+58=270 (15+9)10+59=285 16161616 (16+6)10+66=256 (16+7)10+67=272 (16+8)10+68=288 (16+9)10+69=304 17171717 (17+6)10+76=272 (17+7)10+77=289 (17+8)10+78=306 (17+9)10+79=323 18181818 (18+6)10+86=288 (18+7)10+87=306 (18+8)10+88=324 (18+9)10+89=342 19
10、191919 (19+6)10+96=304 (19+7)10+97=323 (19+8)10+98=342 (19+9)10+99=361 四、推展至 2129 當我們在做此推展時，2121 依前述理論應等於（21+1）10+11221，伽實際以 計算機運算驗證時發現 2121=441；若再次找其他數字驗算 2428=(24+8)10+48=352，也不 等於 672，而進一步分析得 實際值 印度公式值 差異數 差異數與公式之推估 乘數 被乘數 21 21 441 (21+1)10+11=221 220 （21+1）10 22 462 (22+1)10+21=232 230 （22+1）10
11、 23 483 (23+1)10+31=243 240 （23+1）10 24 504 (24+1)10+41=254 250 （24+1）10 25 525 (25+1)10+51=265 260 （25+1）10 26 546 (26+1)10+61=276 270 （26+1）10 27 567 (27+1)10+71=287 280 （27+1）10 28 588 (28+1)10+81=298 290 （28+1）10 29 609 (29+1)10+91= 309 300 （29+1）10 從差異數與公式，我們發現若將十位數之乘數多加 10 後相乘後，亦即將其運算法則改 為：第一步
12、：(以 2312 為例) 先把被乘數(23)跟乘數的個位數(2)加起來 23 + 2 = 25 第二步： 再把被乘數的個位數(3)乘以乘數的個位數(2) 2 X 3 = 6 第三步： 然後把第一步的答案乘以 20，之後再加上第二步的答案就行了 25 X 20 + 6 = 506 依此結果，與下表 21212929 之各項結果驗證皆相同，故可得上述法則可行 21 22 23 24 25 26 27 28 29 21 441 462 483 504 525 546 567 588 609 22 462 484 506 528 550 572 594 616 638 23 483 506 529 5
13、52 575 598 621 644 667 24 504 528 552 576 600 624 648 672 696 25 525 550 575 600 625 650 675 700 725 26 546 572 598 624 650 676 702 728 754 27 567 594 621 648 675 702 729 756 783 28 588 616 644 672 700 728 756 784 812 29 609 638 667 696 725 754 783 812 841 五、伿 3131 之運算推展 3131 依前述理論 1119 應等於（31+1）10+
14、11321，依 2129 之推論,其結果應 等於（31+1）20+11641。實際以計算機運算驗證時發現結果 3131=961；與前述結困分 別相差：640 及 320，而進一步觀察發現其與我們在伿 2129，推論時有類似的發現即 640=(31+1)2；320=（31+1）10；故若我們也同前例，將運算規則中的十位數改乘 以 30 即可推出結果。 算法： 第一步：(以 3432 為例) 先把被乘數(34)跟乘數的個位數(2)加起來 34 + 2 = 36 第二步： 再把被乘數的個位數(4)乘以乘數的個位數(2) 42 = 8 第三步： 然後把第一步的答案乘以 30，之後再加上第二步的答案就行了 3630 + 8 = 1088 依此結果，與下表 31313939 之各項結果驗證皆相同，故可得上述法則可行 31 32 33 34 35 36 37 38 39 31 961 992 1023 1054 1085 1116 1147 1178 1209 32 992 1024 1056 1088 1120 1152 1184 1216 1248 33 1023 1056 1089 1122 1155 1188 1221 1254 1287 34 1054 1088 1
