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1、1第一讲第一讲 行列式与矩阵行列式与矩阵一、内容提要一、内容提要（一）（一）n 阶行列式的定义阶行列式的定义nnjjjnjnjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaDLLLLLLLLL21212211)(212222111211) 1(（二）行列式的性质（二）行列式的性质1行列式与它的转置行列式相等，即；TDD 2交换行列式的两行（列） ，行列式变号； 3行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零； 5行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即，nmnnininiiiin
2、aaabababaaaaDLLLLLLLLL21221111211则nnnnininnnnnininaaabbbaaaaaaaaaaaaDLLLLLLLLLLLLLLLLLL211211121121121112117将行列式某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开（三）行列式依行（列）展开1余子式与代数余子式（1）余子式的定义 去掉 n 阶行列式 D 中元素所在的第 i 行和第 j 列元素，剩下的元素按原位置次序ija所构成的 n-1 阶行列式称为元素的余子式，记为ijaijM（2）代数余子式的定义的代数余子式的记为ijaijji ijijMAA)
3、1(,2n 阶行列式 D 依行（列）展开（1）按行展开公式无限精彩人生，文都铸就永恒22 njkjijkikiDAa10（2）按列展开公式 niisijsjsjDAa10（四）范德蒙行列式（四）范德蒙行列式 njiijn nnnnn xxxxxxxxxxx D111 21 122 22 121 )(111LLLLLLL（五）矩阵的概念（五）矩阵的概念1矩阵的定义 由 mn 个数组成的 m 行 n 列的矩形数表), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaijLLmnmmnnaaaaaaaaaALLLLLL212222111211称为 mn 矩阵，记为nmijaA)(2特殊的矩阵 （1）方阵：行数
4、与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角 阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为 E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3矩阵的相等 设mnijmnijbBaA)(;)(若 ，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaijijLL（六）矩阵的运算（六）矩阵的运算 1加法 （1）定义：设，则mnijmnijbBAA)(,)(mnijijbaBAC)(（2）运算规律 A+B=B+A；（A
5、+B）+C=A+（B+C） A+O=A A+（-A）=0， A 是 A 的负矩阵 2数与矩阵的乘法 （1）定义：设k 为常数，则,)(mnijaAmnijkakA)(3（2）运算规律 K (A+B) =KA+KB, (K+L)A=KA+LA, (KL) A= K (LA) 3矩阵的乘法 （1）定义：设则.)(,)(npijmnijbBaA其中,)(mpijCCAB nkkjikijbaC1 （2）运算规律 ；)()(BCACABACABCBA)(CABAACB)( （3）方阵的幂定义：A，则nija )( KkAAAL运算规律：；nmnmAAAmnnmAA)( （4）矩阵乘法运算与数的运算不同
6、之处。 BAAB ; 00, 0BAAB或不能推出kkkBAAB)( 4矩阵的转置 （1）定义：设矩阵 A=，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，mnija )(记为，nmaAjiT)(（2）运算规律；;)(AATTTTTBABA)(。;)(TTKAkATTTABAB)( （3）对称矩阵与反对称矩阵若则称 A 为对称阵；,AAT，则称 A 为反对称阵。AAT 5逆矩阵 （1）定义：设 A 为 n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB=BA=E，则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆矩阵，记作。1 AB （2）A 可逆的充要条件：A 可逆.0 A（3）可逆阵的性质 若
7、A 可逆，则 A-1也可逆，且(A-1)-1 =A；若 A 可逆，k0，则 kA 可逆，且；111)(AkkA若 A 可逆，则 AT也可逆，且；TTAA)()(11若 A，B 均可逆，则 AB 也可逆，且。111)(ABAB （4）伴随矩阵定义：，其中为的代数余子式，T nijAA)(*ijAija性质：i）；ii）；EAAAAA*1*nAA无限精彩人生，文都铸就永恒44iii）；iv）若 A 可逆，则也可逆，且AAAn 2*)(*AAAAA1)()(*11*用伴随矩阵求逆矩阵公式：*11AAA（七）方阵的行列式（七）方阵的行列式 1定义：由 n 阶方阵 A 的元素构成的 n 阶行列式（各元素
8、的位置不变）叫做方阵 A 的行列式，记为或 detA。A2性质：（1），（2），AATAkkAn（3），（4）BAAB AA11（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵1单位阵 E：；EEE1; 12数量矩阵 kE：当;nkkE EkkEk1)( ,01时3对角阵：;,*2121nnLO则若，则021nLn111211O4上（下）三角阵设nnnnaaaAaaaALO22112211,*则若，则仍为上（下）三角阵0A1A（九）矩阵的初等变换与初等矩阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵 1矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换 交换两行（列） ；5某行（列）乘一个不为零的常数 k
9、； 某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。 2初等矩阵 （1）定义：将 n 阶单位阵 E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵； 交换 i,j 两行（列） ，记为 E(i, j)； 第 i 行（列）乘不为零的常数 k 记为为 E(i(k); 第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记为 E(j(k)i; （2）初等阵性质 初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而)1()()()(11 kiEkiEijEijE )() )(1ikjEikjE（3）方阵 A 可逆与初等阵的关系 若方阵 A 可逆，则存在有限个初等阵，使，tPPP,21LtPPPAL21 （4）初等阵的行列
10、式 1) )(,)(, 1)(ikjEkkiEijE（5）初等阵的作用： 对矩阵 A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵 A， 且 AikjEAkAkiEAAijE) )(,)(,)(3矩阵的等价 （1）定义：若矩阵 A 经过有限次初等变换变到矩阵 B，则称 A 与 B 等价， （2）A 与 B 等价的三种等价说法， A 经过一系列初等变换变到 B； 存在一些初等阵，使得tsFFEE,11LLBFAFEEtsLL11 存在可逆阵 P，Q，使得 PAQ=B （十）分块矩阵（十）分块矩阵 1分块矩阵的定义 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2分块矩阵的运算 （1）
11、设 A，B 为同型矩阵，采用相同的分法有ststtststtBBBBBBBAAAAAAALLLLLLLLLLL12211111221111则 ), 2 , 1;, 2 , 1()(tjsiBABAijijLL（2）), 2 , 1;, 2 , 1()(tjsikAkAijLL（3）设分块成,)(,)(npijmnijbBaA无限精彩人生，文都铸就永恒66 trtrststBBBB B AAAA A LLLLLLLLLL11111111其中的列数分别等于的行数，则，其itiiAAA,21LtjjjBBB,21LsrijcCAB)(中 tkkjikijsiBAc1) r ,1,2,j ;, 3 ,
12、 2 , 1(LL3准对角阵 （1）定义：形如Ai为 ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。sAAAAO21（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设，则；若每个 Ai可逆，则 A 可逆，且sAAAAO21sAAAAL2111 21 11sAAAAO（3）特殊的准对角阵（i），若 A1, A2可逆，则 21 AAA 1 21 11 AAA（ii），若 A1, A2可逆，则 21 AAA 1 11 21 AAA（iii）是 CODBA0, 0, 0CBACB则且 1111 1 0CDCBBA（iv），则0, 0,0 CBCDBA 1111 10 CDBCBA7二、重点二、重点（一）计算行列式；（一）计算行列式；
13、（二）矩阵的乘法；（二）矩阵的乘法； （三）矩阵的逆；（三）矩阵的逆； （四）矩阵的初等变换。（四）矩阵的初等变换。行列式与矩阵题型行列式与矩阵题型一，填空题1设 则 3256422333254233377754321|A333231AAA3534AA2若，是 3 维线性无关列向量，A 是 3 阶方阵，且，123211A,，则|A|= . 322A133A3A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位阵. 已知 AB=2A+B，则 202040202 B1EA4设矩阵，为 A 的伴随矩阵，则 311121111 A*A=TTTAAA3 , 1 , 1*1 , 2 , 1*1 , 1 , 1*二，选择题1设为阶方阵，且，则（ ）成立An2AA（A）； （B）若不可逆则0A A0A （C） （D）若可逆则AEAAE2设,均为四维列向量,且,12312mA|,|1321无限精彩人生，文都铸就永恒88，则 .nB|,|3221| )( ,|21123A. m+n； B.m-n； C. (m+n)； D. n-m3n 阶方阵 A 经过若干次初等变换后化为矩阵 B，则 .A. 必有； B. 必有；|BA |BA C. 若则必有； D. 若则必有. 0|A0|B0|A0|B4设 n 维行向量，矩阵，其中)21, 0 , 0 ,21(LTEATEB2E 为 n
