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1、数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 合 第 1课时 组合与组合数公式 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 自主学习 新知突破 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 理解组合与组合数的概念 2 会推导组合数公式 ， 并会应用公式求值 3 了解组合数的两个性质 ， 并会求值 、 化简和证明 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 从全班 50人中选出 7人组成班委会； 从全班 50人中选出 7人分别担任班委中的 7个不同的职务； 从 1,2,5,11,19这五个数中
2、取出两个数可得多少个不同的真分数； 从 1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的差 (1)上面问题中是排列问题的是 _ (2) 的共同特征是什么 ？ 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 提示 (1) 与顺序无关不是排列问题 ， 选取元素不同且与顺序有关是排列问题 中任取出的两个数是不等的 ，只能确定唯一一个真分数 ， 与顺序无关 ， 不是排列问题 (2)取出的元素不同且无需排序 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 一般地 ， 从 _元素中 _ _， 叫做从 组合 不同 取出 m(mn)个元素 合成一组 数学
3、选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 组合概念的理解 (1)组合的定义中包含两个基本内容：一是 “ 提取元素 ” ；二是 “ 合成一组 ” ， 因此 ， 组合要完成 “ 一件事件 ” 是 “ 取出 (2)同排列的要求一样 ， 组合也要求 被取出的 (3)只要两个组合中的元素完全相同 ， 则无论元素的顺序如何 ， 都是相同的组合 只有当两个组合中的元素不完全相同时 ， 才是不同的组合 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(mn) 个 元 素 的_， 叫做从 的组合数 用符号 _表示 组合数
4、所有不同组合的个数 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 乘积形式 _ 组合数公式 阶乘形式 _ 性质 _ ； 1 _ _ 备注 n ， m N*且 m n . 规定 _ n n 1 n 2 n m 1 m ！ n ！m ！ n m ！ C n 1n 1 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 组合数与组合数公式的注意事项 (1) 组合数公式 m ， n 满足的条件是 m N ， n N*，m n ，在解决与组合数有关的问题时，应特别注意 (2) 在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比组合数公式 n n 1 n 2 n m
5、1 m ！一般用于求值计算； n ！m ！ n m ！一般用于化简与证明 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 下面几个问题中属于组合问题的是 ( ) 由 1,2,3,4构成的双元素集合； 5个队进行单循环足球比赛的分组情况； 由 1,2,3构成两位数的方法； 由 1,2,3组成无重复数字的两位数的方法 A B C D 解析： 取出元素与顺序无关 ， 取出元素与顺序有关 答案： C 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 解析： 当 x 3x 8时 ， 解得 x 4；当 28 x 3x 8时 ，解得 x 9. 答案： A 2 方
6、程 C C 3 x 828 的解为 ( ) A 4 或 9 B 4 C 9 D 其他 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 3 按 每个人的血型为 A， B， O， 依血型遗传学 ， 当且仅当父母中至少有一人的血型是 子女一定不是 若某人的血型为 则父母血型所有可能情况有 _种 解析： 父母应为 A 或 B 或 O ，共有 C 13 C 13 9 种情况 答案： 9 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 4 判断下列各事件是排列问题 ， 还是组合问题 (1)10个人相互各写一封信 ， 共写多少封信 ？ (2)10个人相互通一次电话
7、 ， 共通了多少次电话 ？ (3)10支球队进行比赛 ， 这次比赛冠 、 亚军获得者有多少种可能 ？ (4)从 10个人中选 三个代表去开会 ， 有多少种选法 ？ (5)从 10个人里选出 3个不同学科的代表 ， 有多少种选法 ？ 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 解析： (1)是排列问题 因为发信人与收信人是有区别的 (2)是组合问题 因为甲与乙通了一次电话 ， 也就是乙与甲通了一次电话 ， 没有顺序的区别 (3)是排列问题 因为甲队得冠军 、 乙队得亚军与甲队得亚军 、 乙队得冠军是不一样的 ， 是有顺序区别的 (4)是组合问题 因为 三个代表之间没有顺
8、序的区别 (5)是排列问题 因为 3个人中 ， 担任哪一科的代表是有顺序区别的 . 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 合作探究 课堂互动 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 组合的有关概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10人聚会 ， 见面后每两人之间要握手相互问候 ， 共需握手多少次 ？ (2)10名同学分成人数相同的两个学习小组 ， 共有多少种分法 ？ 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 (3)从 1,2,3， ， 9九个数字中任取 3个 ， 然后把这三个数字相加得到一个和
9、 ， 这样的和共有多少个 ？ (4)从 a， b， c， 名 ， 去完成同一件工作 ，有多少种不同的选法 ？ 思路点拨 要分清是组合还是排列问题 ， 只要确定取出的这些元素是否与顺序有关 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 (1)两人之间相互握手 ， 与顺序无关 ， 故是组合问题； (2)分成的两个学习小组没有顺序 ， 是组合问题； (3)取出 3个数字之后 ， 无论怎样改变这三个数字之间的顺序 ， 其和均不变 ， 此问题只与取出元素有关 ， 而与元素的安排顺序无关 ， 是组合问题； (4)2名学生完成的是同一件工作 ， 没有顺序 ， 是组合问题 数学 选修
10、2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 规律方法 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么 ， 区分的标志是有无顺序 ， 而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来 ， 然后交换这个结果中任意两个元素的位置 ， 看是否会产生新的变化 ， 若有新变化 ， 即说明有顺序 ， 是排列问题；若无新变化 ， 即说明无顺序 ， 是组合问题 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题 并用组合数或排列数表示出来 (1)8人相互发一个电子邮件 ， 共写了多少个邮件 ？ (2)10支球队以单循环制进行比赛 ， 共需要进
11、行多少场比赛 ？ (3)10支球队主客场制进行比赛 ， 共需要进行多少场比赛 ？ (4)有 4张电影票 ， 要在 7人中确定 4人去观看 ， 不同的选法种数是多少 ？ 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 解析： (1) 发邮件有先后之分，与顺序有关是排列问题，共写了 (2) 是组合问题两队只需要比赛一次，与顺序无关，共进行 (3) 是排列问题主客场比赛有主场、客场之分，与顺序有关，共进行 (4) 是组合问 题从 7 人中选取 4 人看电影，与顺序无关，共有 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 写出问题的组合 (1)已知 a，
12、b， c， 个元素 ， 写出每次取出 2个元素的所有组合； (2)已知 A， B， C， D， 个元素 ， 写出每次取出 3个元素的所有组合 思路点拨 先将元素按一定顺序写出 ， 然后按照顺序用图示的方法逐步写出各个组合即可 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 解析： 方法一 ( 顺序后移法 ) ： (1) 可按 a b c d 顺序写出，如图由此可以写出所有的组合： 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 (2) 可按 序写出，如图 由此可以写出所有的组合： ， ， ， B ， 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 方法二 ( 树形图法 ) ： (1) 画出树形图，如图所示 由此可以写出所有的组合： ad
